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江西省2023-2024学年高一第一学期期末考试(4287A)数学试卷答案

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15.(18分)如图所示，一遵守胡克定律的弹性轻绳（始终在弹性限度内），劲度系数k=500N/m,其一端固定在天花板上的O点，另一端固定在滑块（视为质点）上，滑块的质量=4kg,与水平地面间的动摩擦因数μ=0.4

B为一紧挨绳的固定光滑水平铁钉，它到天花板的距离BO等于弹性轻绳的自然长度，B点到地面的距离h=4cm

现将滑块向右拉至C点由静止释放，A、C两点间的距离为4h

O、B、A三点在同一竖直线上，取重力加速度大小g一=10m/s2,v2.592=1.6

(1)求滑块刚释放时的加速度大小；(2)求游块的最大速度；(3)若滑块速度达到最大时，突然断开弹性经绳与它的连接，为使汾块运动到A点时速度怡好为0，可在轻绳断开的同时对滑块施加一个水平向右的恒力F,求恒力F的大小

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分析由$\frac{1}{4{n}^{2}}$＞$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，能证明T_n＞$\frac{n}{4n+4}$，由$\frac{1}{4{n}^{2}}＜\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，能证明T_n＜$\frac{1}{2}$．由此能证明$\frac{n}{4n+4}$＜T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答证明：∵$\frac{1}{4{n}^{2}}$＞$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴T_n＞$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$，
又∵$\frac{1}{4{n}^{2}}＜\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n＜$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{n}{4n+4}$＜T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评本题考查关于数列的前n项和的不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．