德庆县2023-2024学年高三上学期9月月考
数学试题
一、单选题,8小题，每道题5分，共40分。
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，如空间四边形中，，分别是，的中点，
（ ）
A． B． C． D．
4．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）
A．25种 B．50种 C．300种 D．150种
5．掷一个均匀的骰子．记A为“掷得点数大于等于2”，B为“掷得点数为奇数”，则为（ ）
A． B． C． D．
6．在数列中，，，，设数列的前项和为，则（ ）
A．6440 B．6702 C．6720 D．6740
7．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题，4道小题，每道5分，全对得5分，部分对得2分，共20分。
9．如图，在正方体中，，分别是的中点，则（ ）
A．四点，，，共面 B．∥
C．与平面相交 D．若，则正方体外接球的表面积为
10．已知函数，下列选项中正确的有（ ）.
A．的最大值为 B．的最小正周期是
C．在区间上单调递增 D．在区间上有且仅有2个零点
11．对于任意实数，有，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知抛物线的焦点为为上一点，则下列命题或结论正确的是（ ）
A．若与轴垂直，则 B．若点的横坐标为2，则
C．以为直径的圆与轴相切 D．的最小值为2
三、填空题，4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则 ．
14．在边长为2的正方形中，分别为线段，的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为 .

15．设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是 .
16．椭圆：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为 ；
四、解答题，6小题，共70分。
17．（10分）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的面积．
18．（12分）如图，在边长为2的正方体中，，分别为，的中点.
(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的大小.
选择课程A 选择课程B 总计
男生 150
女生 50
总计
19．（12分）已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名）．为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的列联表．
(1)请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；
(2)从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，．
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
20．（12分）已知函数．
(1)求的极值；
(2)求方程的解的个数．
21．（12分）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
22．（12分）已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点
答案第1页，共2页德庆县2023-2024学年高三上学期9月月考
数学参考答案
1．B【详解】，所以.故选：B.
2．A【详解】由题可得，所以，故复数的虚部为.故选：A.
3．B【详解】.故选：B.
4．D【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；
②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.综上，选法共有.
5．A【详解】事件有下列可能： ，共5种；在事件A条件下满足条件有：共2种，所以.
6．D【详解】∵，，∴，，依次得，，，，，……，故是以6为周期的周期数列，是以3为周期的周期数列，∴.故选：D.
7．C【详解】圆可化为，则圆心，半径为；
设，切线为、，则，
中，，所以．故选：C．
8．D【详解】当时，不等式恒成立，则，即函数在上单调递增，则，整理可得，令，则.
当时，，单调递减，当时，，单调递增，，.
9．BCD【详解】对于选项，连接和，则∥，因为在正方体中，是的中点，所以也是的中点，所以因为是的中点，所以所以点，，在平面中，因为点平面，则四点，，，不共面，即选项不正确；
对于选项，由选项A可知是的中点，因为是的中点，所以∥，
又因为∥， 所以∥，即选项正确；
对于选项，因为∥，所以点，，都在平面，因为平面，平面，所以与平面相交，即与平面相交，所以选项正确；
对于选项，因为为的中位线，且，所以正方体的棱长为，设正方体外接球的半径为，则，即，则外接球的表面积为，即选项正确；
10．AB【详解】由题意得，则的最大值为，故选项A正确；
的最小正周期是，故选项B正确；由解得，所以当时，单调递增，同理，当时，单调递减，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C错误；
令，解得或或，故选项D错误. 故选：AB
11．ABC【详解】，
则的展开式的通项公式为：，
当时，，故A正确；当时，，故B正确；
当时，，，当时，，即，所以，故C正确；当时，，即，故D错误．
12．ABC【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，若与轴垂直，将代入抛物线方程，得，故，选项A正确；若点的横坐标为2，由抛物线定义，，选项B正确；
如图，点C为中点，由点向准线作垂线，分别交轴和准线与点，由点向准线作垂线，分别交轴和准线与点，设以为直径的圆半径为，则，又由梯
形中位线得，，所以以为直径的圆与轴相切，选项C正确；
设点，则，当时，的值最小，为1,选项D错误.
13．【详解】因为，则，
.
14．【详解】由题意可知两两垂直，且，将三棱锥补成一个长方体，如图所示，则长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为，
，得，所以三棱锥外接球的表面积为，
15．【详解】由于为奇函数，所以，在区间上单调递减，故在区间上也单调递减，故在单调递减，由得，
所以，解得，故答案为：
16．【详解】由题可得，设.则，又，则.则.
17．【详解】（1）因为，所以，所以............................4分
（2）由以及，得，............................6分
因为，所以，...........................8分
所以.............................10分
18．【详解】（1）如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，................................1分
，，，，，，，....................3分
设平面的法向量为，则，即，令，则，
所以平面的法向量为，...........................5分
所以点到平面的距离；...........................6分
（2）因为，平面，平面，
所以，且，平面，...........................7分
所以平面，即平面，...........................8分
，，，...........................9分
，...........................11分
所以二面角的大小为...........................12分
19．【详解】（1）由男生250名，女生200名，结合表中数据，列联表如图所示，...........................3分
选择课程A 选择课程B 总计
男生 100 150 250
女生 50 150 200
总计 150 300 450
，...........................5分
所以有的把握认为选择课程与性别有关............................6分
（2）按分层抽样计算抽取10名男生中，选择课程A的人数为，...........................7分
则X的所有可能取值为0，1，2，3，...........................8分
，，，，...........................10分
则X的分布列为...........................11分
X 0 1 2 3
P
............................12分
20．【详解】（1）∵，∴，...........................1分
令，解得．当时，，当时，；
∴在单调递减，在单调递增．...........................4分
∴当时，有极小值，无极大值．...........................5分
（2）∵无限趋近于时，无限趋近于0，...........................6分
∴①当时，方程无解；...........................8分
②当或时，方程有一个解；...........................10分
③当时，方程有两个解．...........................12分
21．【详解】（1）解：由题意，数列满足，
当时，可得，解得；...........................1分
当时，可得，...........................2分
两式相减得，所以，...........................4分
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为............................5分
（2）解：令，由，
可得，...........................8分
所以，...........................11分
因为，可得，所以............................12分
22．【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的右焦点到其渐近线的距离为............................2分
因为双曲线经过点，所以，解得............................3分
故双曲线的方程为............................4分
（2）证明：因为为的中点，所以............................5分
设直线的方程为，
所以，...................6分
直线的方程为，直线的方程为............................7分
联立,可得，...........................8分
所以...........................9分
又因为，所以则.
同理可得....................10分
,
，...........................11分
所以. 故三点共线............................12分
答案第1页，共2页