2022年4月湖湘教育三新探索协作体高一期中联考数学部分

1、

(本小题13分)已知函数f(x)＝－ (a>0，x>0)．

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；

(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．

2、

(1)证明：见解析；(2) a＝.

【解析】本事主要是考查了函数的单调性和函数值域的求解的综合运用。

（1）先分析函数的定义域内任意两个变量，代入函数解析式中作差，然后变形定号，下结论。

（2）∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，那么可知又f(x)在[，2]上单调递增，可知最大值和最小值在端点值取得求解得到参数a的值。

解：(1)证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0.

∵f(x2)－f(x1)＝(－)－( －)＝－

＝>0，

∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．………………6分

(2)∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，

又f(x)在[，2]上单调递增，∴f()＝，f(2)＝2，

易得a＝. ………………13分

3、

已知点A（l，2）在函数f（x）=ax3的图象上，则过点A的曲线C：y=f（x）的切线方程是（　　）

A. 6x﹣y﹣4=0 B. x﹣4y+7=0

C. 6x﹣y﹣4=0或x﹣4y+7=0 D. 6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=0

4、

【答案】D

【解析】由于点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上，

则a=2,即y=2x3，

y′=6x2，

设切点为(m,2m3),则切线的斜率为k=6m2，

由点斜式得：y-2m3=6m2(x- m).

代入点A（l，2）得,2-2m3=6m2(1–m).

即有， .

解得或，即斜率为6或

则过点A的曲线C:y=f(x)的切线方程是：

y2=6(x1)或y2= (x1)，

即6xy4=0或3x2y+1=0.

故选D.