高中数学人教版（2019）高一第一章集合与常用逻辑用语专题检测
一、单选题(共8题；共40分)
1．（5分）下列元素与集合的关系表示不正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）已知全集 ，集合 ， ，则如图阴影部分表示的集合是（　　）
A． B．
C． D．
3．（5分）设集合 ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
4．（5分）设集合 ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）一元二次方程 （ ）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）给定集合 ， ，定义 ，若 ， ，则集合 中的所有元素之和为（　　）
A．15 B．14 C．27 D．-14
8．（5分）记不等式 解集分别为 、 ， 中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题(共4题；共20分)
9．（5分）下列是“ ”成立的充分条件的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（5分）若“ ，使得 成立”是假命题，则实数 可能的值是（　　）
A．1 B． C．3 D．
11．（5分）下列各题中， 是 的充要条件的有（　　）
A． ：四边形是正方形； ：四边形的对角线互相垂直且平分
B． ：两个三角形相似； ：两个三角形三边成比例
C． ： ； ： ， ；
D． ： 是一元二次方程 的一个根； ：
12．（5分）下列命题正确的是（　　）
A．“ x<1，x2<1”的否定是“ x≥1，x2≥1”
B．“a> ”是“ <2”的充分不必要条件
C．“a=0”是“ab=0”的充分不必要条件
D．“x≥1且y≥1”是“x2+y2≥2”的必要不充分条件
三、填空题(共4题；共20分)
13．（5分）全称命题“ ， ”的否定是　 　．
14．（5分）已知集合 ， ，若 ，则实数 　 　.
15．（5分）设集合 ， 且 ，则 　 　.
16．（5分）设 ，集合 ， ，若 ，则 　 　．
四、解答题(共6题；共70分)
17．（10分）已知全集 ，集合 ， .
（1）（5分）当 时，求 ；
（2）（5分）若 ，求实数 的取值范围.
18．（12分）已知集合 ， ．
（1）（5分）若 ，求实数m的值；
（2）（7分）若 ，求实数m的取值范围．
19．（12分）设 ．
（1）（5分）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）（7分）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
20．（12分）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．
设集合__________，集合 ．
（1）（5分）若集合B的子集有2个，求实数a的取值范围；
（2）（7分）若 ，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（12分）已知 ，集合 ， .
（1）（5分）若a=1，求 ， ；
（2）（7分）若 ，求实数a的取值范围.
22．（12分）已知集合 B={x|(x-m)(x-m-6)≤0}，其中m∈R.
（1）（5分）当m=2时，求A∪B；
（2）（7分）若“x∈A”是“ ”的充分条件，求m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】根据元素与集合的关系可得 ， ， ， ，D不正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据元素与集合的关系，结合数集的表示方法，判断选项中的命题真假性即可。
2．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：解不等式 得 ，故 ，
解不等式 得 ，故
所以
所以如图阴影部分表示的集合是 .
故答案为：C
【分析】阴影部分的表示的是属于A且不属于B，所以选C.
3．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由不等式 ，解得 ，即 ，又由 ，可得 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出集合B，再利用交集的运算法则，从而求出集合A和集合B的交集。
4．【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由题意知，
或 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】分别求出集合M和N，再根据补集的定义求出，再根据交集的定义，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程
【解析】【解答】一元二次方程 （ ）有一个正根和一个负根的充要条件是 ，即 ，而 的一个充分不必要条件是 ，
故答案为：C．
【分析】由一元二次方程根的情况结合韦达定理得出，由此得到a的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】如 ， ，满足 ，但不满足“ ”，
所以由 得不出 ”，
若 ”，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】利用列举法可判定，不能推出，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可。
7．【答案】A
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由题可知， ， ，
当 时， 时， ，
当 时， 时， ，
当 时， 时， ，
所以 ，元素之和为15。
故答案为：A。
【分析】利用定义 ，结合已知条件，从而结合分类讨论的方法，进而求出m-n的值的所以情况，从而求出集合 中的所有元素，进而求出集合 中的所有元素之和。
8．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由 可得： 或 ，所以 或 ，
因为 中有且只有两个正整数解，所以 ，
对于方程 ，判别式 ，
所以方程的两根分别为： ， ，
所以 ，
若 中有且只有两个正整数解，
则 即 ，可得 ，
所以 ，
当 时，解得 ，此时 ， 不符合题意，
综上所述：a的取值范围为 ，
故答案为：B.
【分析】由 可得 或 ，因为 中有且只有两个正整数解，所以 ，对于方程 ，利用判别式法得出 ，再利用求根公式得出方程的两根分别为： ， ，从而求出集合 ，再利用 中有且只有两个正整数解，从而求出a的取值范围，所以 ，当 时，解得 ，此时 ， 不符合题意，进而求出实数a的取值范围。
9．【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A选项，若 ，则 ，所以 ；即 是“ ”成立的充分条件；A符合题意；
B选项，若 ，则 ；即 是“ ”成立的充分条件；B符合题意；
C选项，当 ， 时，能满足 ，但不满足 ，所以 不是“ ”成立的充分条件；C不符合题意；
D选项，若 ，则 ；所以 是“ ”成立的充分条件；D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合充分条件的判断方法，进而选出是“ ”成立的充分条件的选项。
10．【答案】A,B
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题意可知，命题“ ， 成立”，
所以 ，可得 ，
当 时，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，所以， 。
故答案为：AB.
【分析】利用全称命题与特称命题互为否定的关系以及原命题与命题的否定的真假关系，从而由已知条件 “ ，使得 成立”是假命题，推出命题“ ， 成立”，所以 ，可得 ，再利用均值不等式求最值的方法，从而求出实数 的取值范围，进而选出实数 可能的值。
11．【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A选项，p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分，因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，也可能为菱形，所以 推不出 ，所以p不是q的充要条件；
B选项，p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例，因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即 能等价互推，所以p是q的充要条件.
C选项， ， ， ，因为 时， ， 不一定成立，也可能 ， ，所以 推不出 ，所以p不是q的充要条件；
D选项， 是一元二次方程 的一个根， .
将 代入方程 得， ，即 “若p，则q” 为真命题，若 ，则 时，方程左式 ，即 适合方程， 是一元二次方程 的一个根，故“若q，则p”均为真命题，即 能等价互推，所以p是q的充要条件.
所以BD中，p是q的充要条件.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而找出 是 的充要条件的选项。
12．【答案】B,C
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】A：根据命题的否定可知：“ ， ”的否定是“ ， ”，A不符合题意；
B： 等价于 或 ，由小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围可以判断B符合题意
C：由 能推出 ，由 不能推出 ，所以C符合题意；
D：根据不等式的性质可知：由 且 能推出 ，本选项是不正确的；
故答案为：BC.
【分析】根据含量词命题的否定判断A，由 等价于 或 确定B，ab=0等价 或 判断C，由不等式的性质判断D.
13．【答案】 ，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ ， ”的否定为： ， ．
故答案为： ， .
【分析】考查命题的否定，注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
14．【答案】2
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由已知及 可得 ，
所以 或 ，
当 即 时，此时 不满足元素互异性，不符合题意，
当 即 或 ，
若 则 不满足元素互异性，不符合题意，
若 则 ， ，满足 ，符合题意.
所以实数 ，
故答案为：2.
【分析】 推导出B A，从而a+2=1，或a+2=3，或a+2=a2，再利用集合是元素的互异性能求出实数a．
15．【答案】{0,1}
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合 ， 且 ，因此， .
故答案为：{0,1}.
【分析】利用交集定义直接求解即可。
16．【答案】1或2
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】 ，
解方程 可得
因为 ，所以 ，
当 m=1时，满足题意；
当 ，即m=2时，满足题意，故m=1或2.
【分析】先化简集合A，B，再结合题中条件推出 ，即可求出m的值。
17．【答案】（1）解：当 时， ，
， ，
因此， 或
（2）解：当 时， ，即 ，这时 ；
当 时，有 ，解得 .
综上， 的取值范围为
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用指数函数的单调性结合特殊值对应的指数的大小关系比较，从而求出集合A中的x的取值范围，进而求出集合A,再利用m的值求出集合B，再利用并集和补集的运算法则，进而求出集合 。
（2）利用集合间的包含关系结合分类讨论的方法，再借助数轴求出实数m的取值范围。
18．【答案】（1）解不等式 得 ，即 ，
解不等式 ，得 ，即 ，
因 ，则有 ，解得 ，
所以实数m的值为2；
（2）由(1)知 ，而 ，
则有 或 ，解得 或 ，
所以实数m的取值范围 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】 (1)根据一元二次不等式的解法，对A， B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[0， 3]，求出实数m的值；
(2)由(1)解出的集合A， B，因为 ，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解.
19．【答案】（1）解：设 ，所以 ，
设 ，所以 ，
因为p是q的充分不必要条件，所以 ，
即 ，所以实数a的取值范围为
（2）解：因为p是q的必要条件，所以 ，
即 ，所以实数a的取值范围为
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）根据分式不等式与绝对值不等式的解法，分别求出p与q的范围，然后根据p是q的充分不必要条件得到 ，建立关系式，解之即可；
（2）根据p是q的必要条件，所以 ，建立关系式，解之即可。
20．【答案】（1）解：∵集合B的子集有2个，∴集合B元素个数为1
∴
解得：
（2）解：选①
集合
集合
∵∴
显然有
要满足条件，必有： ，解 ，即 ，所以 解得 或 ；
解 ，即 ，所以 解得 或 ；
综上可得
选② ，
集合
∵∴
要满足条件，必有： 解得 ；
选③ 解得
集合
∵∴
要满足条件，必有： 解得 ；
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）依题意集合B元素个数为1，则 ，计算可得；
（2）分别求出集合A，再由 ，则 ，即可得到不等式组，解得即可。
21．【答案】（1）解：由题意知： ，当a=1时， ，
所以 ，
（2）解： ，
因为 恒成立，所以 ，
所以要使 ，则需 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为：
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1） a=1 时化简集合A,B，再根据交集、补集的定义计算即可；
（2）由 得出 ，再由一元二次方程的根的分布建立不等式组，即可得出结果。
22．【答案】（1）解：
当 时，
所以
（2）解：因为“ ”是“ ”的充分条件，所以 ，
又 或 ，
所以 或 ，即 或 ，
所以实数 的取值范围为
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用m的值求出集合B，再利用一元二次不等式的求解方法，进而求出集合A和集合B，再利用并集的运算法则求出集合A和集合B的并集。
（2）利用充分条件与集合间包含关系的关系，则由 “ ”是“ ”的充分条件，所以 ， 再利用集合间的包含关系结合分类讨论的方法，再借助数轴求出实数m的取值范围。