2022-2023学年重庆市永川区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 若函数的图象经过点，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
5. 某校生物小组人到校外采集标本，其中人每人采集到件，人每人采集到件，人每人采集到件，则这个小组平均每人采集标本( )
A. 件 B. 件 C. 件 D. 件
6. 若，则的值是( )
A. B. C. D. 或
7. 下列计算错误的是( )
A. B.
C. D.
8. 某班抽取名同学进行体育达标测试，成绩如下：，，，，，，下列关于对这组数据的描述中，错误的是( )
A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 极差是
9. 如图，在平行四边形中，点，都在边上，且平分，平分，若，，则边的长是( )
A. B. C. D.
10. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把沿直线翻折后得到，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 若有意义，则的取值范围是______．
12. 数据，，，，的方差是______ ．
13. 如图，在 中，是对角线与的交点，，是边的中点，连接，若 的周长是，则的周长是______ ．
14. 已知函数经过，，则 ______ ．
15. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于______．
16. 如图，已知点坐标为，直线与轴交于点，连接，，则的值为______ ．
17. 如图，在边长为的正方形中，为边的中点，延长至点，使，以为边作正方形，点在边上，则的长为______．
18. 如图，点是正方形内一点，且，，若，则正方形的面积是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
如图，在中，，，点在边上，且，，求的长．
21. 本小题分
如图，直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象．
求、、三点的坐标；
求的面积．
22. 本小题分
为实施“农村留守儿童关爱计划”，某学校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有名、名、名、名、名、名共六种情况，且有名留守儿童的班级数占全校班级数的，并制成如下不完整的统计图：
该校共有多少个班级？并将统计图补充完整；
写出该校各班级留守儿童人数的中位数和众数；
该校平均每班有多少名留守儿童？
23. 本小题分
如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作
，交的延长线于点，连接．
求证：≌；
四边形是平行四边形；
若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
24. 本小题分
某天，张强到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有分钟，于是他立即以米分的速度步行回家取票在他从体育馆步行回家取票的同时，他父亲骑自行车从家里出发，以米分的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后张强立即坐他父亲的自行车赶回体育馆如图中线段、分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程米与所用时间分钟之间的函数关系，结合图象解答下列问题假设骑自行车和步行的速度始终保持不变：
求的值和点的坐标；
求直线所表示的函数关系式；
张强能否在比赛开始前到达体育馆？
25. 本小题分
现从，向甲、乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜市场各有蔬菜吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从到甲地运费元吨，到乙地元吨；从地到甲运费元吨，到乙地元吨．
设地到甲地运送蔬菜吨，请完成下表：
运往甲地单位：吨 运往乙地单位：吨
______
______ ______
设总运费为元，请写出与的函数关系式．
怎样调运蔬菜才能使运费最少？
26. 本小题分
如图，矩形的边、分别在轴和轴上，顶点在第一象限，点在的延长线上，已知，且把沿矩形的对角线翻折后，顶点恰好落在线段的中点处．
求的度数；
求线段，的长度；
已知点是直线上的一个动点，在这个坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
2.【答案】
【解析】解：函数的图象经过点，
，
解得：，
的值是．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，属于基础题由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】
解：，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
B.，可以构成直角三角形，故B选项正确；
C.，不可以构成直角三角形，故C选项错误；
D.，而且它们不符合三角形的三边关系，不可以构成直角三角形，故D选项错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；
故选：．
根据正方形和菱形的性质容易得出结论．
本题考查了正方形和菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解题的关键；注意区别．
5.【答案】
【解析】解：本组数据分别为：，，，，，，，，，，，
故平均数．
故选B．
只要运用加权平均数公式即可求出，为简单题．
本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，
或，
解得或，
故选：．
根据算术平方根等于它本身的数是或进行求解．
此题考查了算术平方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
7.【答案】
【解析】解：、，正确；
B、，正确；
C、，正确；
D、，故错误．故选D．
根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
8.【答案】
【解析】解：把这组数据从小到大排列为：，，，，，，最中间两个数的平均数是：，则中位数是，故选项A符合题意；
出现了三次，出现的次数最多，则众数是，故选项B不符合题意；
平均数是：，故选项C不符合题意；
极差是：，故选项D不符合题意；
故选：．
根据平均数，中位数，众数及极差的概念进行判断．
此题考查了极差、众数、平均数和中位数，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
9.【答案】
【解析】解：在 中，
，，，，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
．
即．
；
故选：．
根据平行线的性质得到，由平分，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出．
10.【答案】
【解析】解：如图，作轴，交于点，轴，交于点，
直线与轴、轴分别交于、两点，
，，
，
由折叠的特性得，，，
，，
，，
，
故选：．
作轴，交于点，轴，交于点，由直线与轴、轴分别交于、两点，求出，，和，运用直角三角形求出和，再求出点的坐标．
本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段．
11.【答案】
【解析】解：有意义，
，
解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，据此可得结论．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
12.【答案】
【解析】解：由题意得：，
数据的方差．
故答案为：．
先求出平均数，再根据方差的公式计算即可．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
13.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
周长为，，
，，
，是边的中点，
，，
，
的周长为．
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出，，，求出，，根据三角形的中位线求出，求出的值，即可求出答案．
本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质的应用，能求出的值是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分．
14.【答案】
【解析】解：函数经过，，
，
解得：，
；
故答案为：．
利用待定系数法求出，，再代值计算即可．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握图象上的点满足一次函数的解析式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
为边中点，
；
故答案为：．
由菱形的四边相等求出边长，再根据对角线互相垂直得出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：直线的解析式是，
，则；
又外角定理，
；
而点的坐标是，
，
在中，，，
，
，即．
故答案是：．
根据直线的斜率是可知；然后利用已知条件、外角定理可以求得；最后在直角三角形中利用特殊角的三角函数来求即的值即可．
本题综合考查了三角形的外角性质、特殊角的三角函数值以及一次函数的斜率的几何意义．解题时，注意挖掘隐含在题干中的已知条件．
17.【答案】
【解析】解：为边的中点，
，
在中，，
，
，
，
在正方形中，．
故答案为：．
根据线段中点的定义求出，再利用勾股定理列式求出，即为的长度，然后求出，再根据正方形的四条边都相等可得．
本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，线段中点的定义，熟记性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，把绕点顺时针旋转得到，
则，，
旋转角是，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
过点作的延长线于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得
，
正方形的面积是，
故答案为：．
把绕点顺时针旋转得到，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得，，然后求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，，再求出，利用勾股定理的长，再在等腰直角三角形中求出、的长，最后在中根据勾股定理求出，即可得到正方形的面积．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】先进行二次根式的化简，除法转为乘法，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：，，，
，
．
，
，
，
．
【解析】先根据，，求出的长，再由勾股定理求出的长，由得出，由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
21.【答案】证明：在中，令，解得：，
则点的坐标为，
同理，点的坐标为，
解得．
点的坐标为；
，
．
【解析】在两个一次函数解析式中，令，求得的值，即可得到和的坐标，求两个一次函数的解析式组成的方程组求得的坐标；
求出的长，利用三角形面积公式即可求解．
本题考查了利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．
22.【答案】解：调查的班级数有：个，
有名留守儿童班级数为：个，
补全统计图如下：
该校各班级留守儿童人数的中位数为名，众数为名；
名．
答：该校平均每班大约有名留守儿童．
【解析】用有名留守儿童的班级数除以它所占的百分比即可得到全校班级总数，再用总数分别减去其它五种情况人数即可得出有名留守儿童班级数；
分别根据中位数和众数的定义解答即可；
根据加权平均数的计算公式解答即可．
本题主要考查众数、加权平均数、中位数、条形统计图和扇形统计图，解题关键是扇形统计图和条形统计图中数据相结合解题．
23.【答案】证明：，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
证明：是边上的中线，
，
由得，≌，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是矩形，理由如下：
，，、
，
，
是矩形．
【解析】由，得，，结合证得结论；
可得，结合得出结论；
根据等腰三角形“三线合一”可得，进而得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．
24.【答案】解：点与点相距米，
小明家离体育馆有米，
从点点到点用了分钟，
父子俩在出发后分钟相遇；
设小明的速度为米分，则他父亲的速度为米分，
根据题意得，
解得，
米，
父亲与小明相遇时距离体育馆还有米，
点的坐标；
设直线所表示的函数关系式为，
把，代入解析式，
则，
解得，
直线所表示的函数关系式为；
从点到点的速度为米秒，
从点到点的所需时间分，
而小明从体育馆到点用了分钟，
小明从点到点，再从点到点需分，
小明从体育馆出发取票时，离比赛开始还有分钟，
小明能在比赛开始之前赶回体育馆．
【解析】观察图象得到小明家离体育馆有米，小明到相遇地点时用了分钟，则得到父子俩在出发后分钟相遇；小明的速度为米分，则他父亲的速度为米分，利用父子俩在出发后分钟相遇列出方程，解方程求出的值，再求出小明在分钟走的路程即可；
用待定系数法求函数解析式即可；
由得到从点到点的速度为米秒，则从点到点的所需时间，得到小明取票回到体育馆用的时间与比较即可．
本题考查了一次函数的应用，函数图象反映两个变量之间的变化情况，根据图象提供得信息得到实际问题中的相关的量，然后利用这些量解决问题．
25.【答案】解：；；；
由题意，得
；
，到两地运送的蔬菜为非负数，
，
解不等式组，得：，
在中，
，
随增大而增大，
当最小为时，有最小值，
当时，：，，
：，，
即向甲地运吨，向乙地运吨，向甲地运吨，向乙地运吨才能使运费最少．
【解析】
解答：如图所示：
运往甲地单位：吨 运往乙地单位：吨
见答案；
见答案．
【分析】
根据题意，两个蔬菜市场各有蔬菜吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，可得解．
根据从到甲地运费元吨，到乙地元吨；从地到甲运费元吨，到乙地元吨可列出总费用，从而可得出答案．
首先求出的取值范围，再利用与之间的函数关系式，求出函数最值即可．
本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握．
26.【答案】解：由翻折可知，
点是线段的中点，且，，
，
等边三角形，
，
又由翻折知，
．
答：的度数为．
四边形是矩形，
，，
由知，
，
在中，，
，
解得，
点是线段的中点，且，
，
，
，
在中，，
，
．
答：的长度为．
存在，
是等边三角形，
当平移线段，使点与重合时，该四边形是菱形，
此时点与点重合，
，，
是的中点，
，即，
则线段的平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
，即，
同理，当平移线段，使点到位置，则时，该四边形是菱形，
，
，
设点，
，
，
解得舍去正值，
，
；
同理，当平移线段，使点与重合时，该四边形是菱形，则线段的平移方式为向右平移个单位，向下平移个单位，
．
综上，点的坐标为，，．
【解析】根据翻折的性质和直角三角形斜边中线的性质证明是等边三角形，可得，再由翻折的性质可得答案；
在中，利用勾股定理求出，可得和的长度，再在中，利用勾股定理求出即可；
由是等边三角形，可得当平移线段，使点与重合时，该四边形是菱形，则线段的平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，据此求解；同理，当平移线段，使点到位置，则时，该四边形是菱形，设点，，利用勾股定理求解即可；同理，当平移线段，使点与重合时，该四边形是菱形，则线段的平移方式为向右平移个单位，向下平移个单位，据此求解即可．
本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，矩形的性质，三角形翻折问题，勾股定理等知识的综合运用，利用数形结合的思想是解题的关键．
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