2023年河南省南阳市桐柏县四校联考中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度僧只律又有资料为倡只律解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟照此计算，一须叟为分钟，一罗预为秒，一弹指为秒，一瞬为秒，一刹那为秒则一天小时有( )
A. 刹那 B. 刹那 C. 刹那 D. 刹那
3. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，直线，，则的度数为( )
A. B. C. D.
6. 关于的方程是一元二次方程，则的值是( )
A. B. C. D. 或
7. 如图，，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点．下列各值：线段的长；的周长；的面积；直线，之间的离；的大小．其中会随着点的移动发生变化的值是( )
A. B. C. D.
8. 如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形除数字不同外，其他完全相同，转盘上的数字分别为，，，转盘上的数字分别为，，，同时转动两个转盘规定：若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次，则转出的数字之积为正数的概率是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在中，顶点与原点重合，，，，点为边上一点，且将向右平移，当点的对应点恰好落在直线上时，点的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
10. 如图，若点坐标为，点坐标为，那么点的位置可表示为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若二次根式有意义，则可取 填一个即可
12. 如图，用不等式表示公共部分的范围______ ．
13. 将抛物线向左平移个单位长度得到的抛物线的解析式为______．
14. 如图，矩形中，，为的中点，以为圆心，为半径作半圆与边相交于点、，连接，以为圆心，为半径作弧刚好经过点，则图中阴影部分的面积为______ ．
15. 如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交，于点，，连接，，下列结论：；当时，的周长为；；，其中正确的有______ 填序号．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
化简：．
17. 本小题分
“坐位体前屈”是我市中招体育考试加试项目，某校为了解九年级男生“坐位体前屈”训练状况，随机抽取了名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下：
成绩频数分布表
成绩
频数
成绩在这组的数据是单位：
根据以上信息，回答下列问题：
______ ，这次测试成绩的中位数是______ ．
小明的测试成绩为小强评价说：小明的成绩低于平均数，所以在抽取的名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高，你认同小强的说法吗？请说明理由．
已知九年级男生“坐位体前屈”成绩达到为满分，请你为该校提出一条训练建议．
18. 本小题分
如图，等腰的锐角顶点，的坐标分别为，，直角顶点在反比例函数的图象上．
求的值；
求的面积．
19. 本小题分
如图，为的直径，为半圆上一动点，过点作的切线，过点作，垂足为，与交于点，连接，，，交于点．
求证：≌；
若，连接．
当______时，四边形为菱形；
当______时，四边形为正方形．
20. 本小题分
为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，某校决定从网店购买甲，乙两种图书以供学生课外阅读已知甲，乙两种图书的单价分别是元和元．
该校用元购买了甲，乙两种图书共本，求甲，乙两种图书各购买了多少本？
若该校准备再次购买甲，乙两种图书共本，且购买图书的总费用不超过元，那么甲种图书最多能买多少本？
21. 本小题分
某校开展“阳光体育”活动，如图是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图所示是以点为原点建立的平面直角坐标系甲位于点处，乙位于轴的处，正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点、点，且的水平距离为米，他们到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米．
请求出该抛物线的解析式；
跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方；
经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于米时才能安全起跳，小明与其他位同学一起跳绳，如果这名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？
22. 本小题分
背景阅读：
早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”它被记载与我国古代著名数学著作周髀算经中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为：：的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为，，或的三角形就是型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．
实践操作：
如图，在矩形纸片中，，．
第一步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图，将图中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去．
第三步：如图，将图中的矩形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平．
问题解决：
请在图中判断与的数量关系，并加以证明；
请在图中证明型三角形；
探索发现：
在不添加字母的情况下，图中还有哪些三角形是型三角形？请找出并直接写出它们的名称．
23. 本小题分
【初步探究】
把矩形纸片如图折叠，当点的对应点在的中点时，填空： ______ “≌”或“∽”．
【类比探究】
如图，当点的对应点为上的任意一点时，请判断中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
在矩形中，，，点为中点，点为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，，当为直角三角形时，的长为______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的相反数是，即，
故选：．
根据绝对值、相反数的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，相反数，理解绝对值、相反数的定义是正确解答的前提．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做图形的对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，将其绕对称中心旋转度后与原图重合．
4.【答案】
【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，过点作，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
过点作，则有，故有，，从而可求得的度数，即得的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
6.【答案】
【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的定义，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：点，为定点，点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
即线段的长度不变，故错误；
、的长度随点的移动而变化，
所以，的周长会随点的移动而变化，故正确；
的长度不变，点到的距离等于与的距离的一半，
的面积不变，故错误；
直线，之间的距离不随点的移动而变化，故错误；
的大小点的移动而变化，故正确．
综上所述，会随点的移动而变化的是．
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，从而判断出不变；再根据三角形的周长的定义判断出是变化的；确定出点到的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出不变；根据平行线间的距离相等判断出不变；根据角的定义判断出变化．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，数字之积分别为，，，，，，，，，
其中转出的数字之积为正数的结果有种，
转出的数字之积为正数的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数和转出的数字之积为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，过作于点，如图所示：
则有，
，
，
，
，
，
≌，
，，
设，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
将向右平移，纵坐标还是，
代入，
得，
解得，
，
根据平移到，可得坐标为．
故选：．
过点作轴于点，过作于点，易证≌，根据全等三角形的性质可求出点坐标，再求出点坐标，根据平移，求出坐标，即可求出坐标．
本题考查了一次函数的综合，涉及全等三角形，平移的性质等，构造全等三角形是解题的关键，本题难度较大．
10.【答案】
【解析】解：如图，因为点坐标为，点坐标为，
所以点的坐标为，
即点的坐标为．
故选：．
根据点和点的坐标确定原点位置，进而得出点的坐标．
此题主要考查了点的坐标，正确求出原点位置是解题关键．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：，
则可取答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
直接利用二次根式的定义得出的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：由图示可看出，从出发向右画出的折线且表示的点是实心圆，表示；
从出发向左画出的折线且表示的点是空心圆，表示．
所以这个不等式组为
数轴的某一段上面，表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
13.【答案】
【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度得到的抛物线的解析式为，
故答案为：．
直接根据“左加右减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，
，
≌，与都为等边三角形，
为等边三角形，
阴影部分的面积等于的面积，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
证明≌，与都为等边三角形，可得为等边三角形，阴影部分的面积等于的面积即可求出答案．
本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，证明≌，与都为等边三角形是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，
，，，，，，
，
，
，
，
即，
，故正确；
，，
的周长，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
的周长是，故正确；
在中，，
，
，故正确；
在和中，
，
≌，
，
同理，
，，
，故正确．
故答案为：．
根据轴对称的性质得出，，，，，，求出，根据等腰三角形的性质得出，求出，再求出，即可判断；根据，求出的周长，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可判断；根据三角形的三边关系定理即可判断；根据全等三角形的性质求出，，求出，即可判断．
本题考查了轴对称性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．
16.【答案】解：
；
．
【解析】分别根据负整数指数幂、指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
根据分式混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的混合运算和分式的混合运算，涉及到负整数指数幂、指数幂及绝对值的性质、因式分解等知识点，熟知以上知识是解答此题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，
成绩在内的频数为，成绩在内的频数为，且，
而在的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、，
这次测试成绩的中位数是：，
故答案为：；．
不认同．
理由：，
小明的测试成绩高于中位数，说明他比一半九年级所测男生成绩好．
在保证训练时间的条件下进行科学训练，从而逐渐提高“坐位体前屈”的成绩，第一步超过中位数，然后再向满分冲刺．答案不唯一．合理即可．
根据所有的频数之和等于数据总数即可求出，根据频数分布表和的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、，继而依据中位数的定义求解即可；
根据中位数的意义求解即可；
答案不唯一，合理即可．
本题考查频数分布表、中位数，解题的关键是根据表格得出解题所需数据，掌握中位数的定义和意义．
18.【答案】解：如图，过点作轴于点，过点作于，
，
，
，
．
在与中，
，
≌，
，，
设，
点，的坐标分别为，，
，，
，，
，解得，
点的坐标为，
在反比例函数的图象上，
．
，
，
．
【解析】过点作轴于点，过点作于，根据证明≌，从而求得点的坐标，利用待定系数法可求出的值；
根据，利用三角形面积公式即可求得．
本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．求得点的坐标是解题的关键．
19.【答案】证明：如图，
，
，
是直径，
，
是切线，
，
四边形矩形，
，，
在和中，
，
≌．
；

【解析】见答案；
解：当时，四边形是菱形．
理由：连接．
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
四边形是菱形．
故答案为．
当四边形是正方形时，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，
．
时，四边形是正方形．
故答案为．
根据三个角是直角的四边形是矩形，首先证明四边形是矩形，由此即可解决问题．
当时，四边形是菱形．连接，只要证明，都是等边三角形即可解决问题．
当四边形是正方形时，可以证明是是直径，由此即可解决问题．
本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：设甲种图书购买了本，乙种图书购买了本．
根据题意得：，
解得：．
答：甲种图书购买了本，乙种图书购买了本；
设甲种图书购买本，则乙种图书购买本，
根据题意得：，
解得：，
答：甲种图书最多能买本．
【解析】设甲种图书购买了本，乙种图书购买了本．根据题意可列出关于，的二元一次方程组，解之即可求出答案；
设甲种图书购买本，则乙种图书购买本．根据题意可列出关于的一元一次不等式，解出即可求出答案．
本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
21.【答案】解：由题意设抛物线的解析式为，
将点代入，中，得，
该抛物线的解析式是．
解：将代入，
解得，，
小明站在距甲米或米时，绳子刚好过他的头顶上方．
解：他们可以安全起跳，理由如下：
当时，，，
可以站立跳绳的距离为米，
又米，
，
他们可以安全起跳．
【解析】根据题意可知抛物线顶点的坐标为，可设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，可得该抛物线的解析式；
将代入，解得的值即可；
由可知当时，，，可以站立跳绳的距离为米，小明与其他位同学一起跳绳需要站立的最短距离为米，因为，所以他们可以安全起跳．
本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键．
22.【答案】解：结论：，
理由：连接，由折叠得，，，
四边形是正方形，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
证明：四边形是正方形，
，
由折叠得，，
设，则，
在中，
，
，
解得：，
，，
：：：：，
是型三角形；
解：图中还有，，是型三角形，
，
∽，
：：：：，
：：：：，
是型三角形；
同理，，是型三角形．
【解析】连接，由折叠的性质得到，，根据正方形的想知道的，根据全等三角形的性质即可得到结论；
根据正方形的性质得到，由折叠得，，设，则，根据勾股定理列方程得到，于是得到结论；
根据型三角形的定义即可得到结论．
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
23.【答案】∽ 或
【解析】解：四边形是矩形，
，
矩形纸片如图折叠，
，
，
，
∽，
故答案为：∽；
中结论成立，理由如下：
四边形是矩形，
，
矩形纸片如图折叠，
，
，
，
∽；
如图所示，当时，是直角三角形，
由折叠可得，，，
，即点，，在一条直线上，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
在中，，
，
解得，
；
如图所示，当时，是直角三角形，
过作于，作于，则，
又，
，
，
∽，
，
，，
，
沿折叠得到，
，
，
解得，，
，，
设，则，
在中，，
，
解得，
．
综上所述，的长为或．
由矩形纸片如图折叠，可证∽；
同由四边形是矩形，如图折叠，可得，即可得∽，
分两种情况：当时，证明≌，得，设，在中，有，可解得；当时，过作于，作于，则，证明∽，可得，设，在中，，可解得．
本题考查相似形的综合应用，涉及矩形中的折叠问题，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等，第有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
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