2024届高三一轮复习小练(四十一)　电磁感应中的电路和图像问题
A级——全员必做
1.如图所示，变化的匀强磁场垂直穿过金属框架MNQP，金属杆ab在恒力F作用下沿框架从静止开始运动，t＝0时磁感应强度大小为B0，为使ab中不产生感应电流，下列能正确反映磁感应强度B随时间t变化的图像是(　 )
解析：选C　金属杆ab中不产生感应电流，则穿过闭合回路的磁通量不变，设金属杆ab长为L，金属杆ab到MP的距离为l1，金属杆ab的质量为m，则有a＝，x＝at2，B0Ll1＝BL(l1＋x)，联立可得＝＋，随着时间增加，是增大的，且增大的速度越来越快，故C正确。
2．某星球表面0～200 km高度范围内，水平方向磁场的磁感应强度大小随高度增加由60 T均匀减小至10 T，为使航天器能在星球表面安全降落，可以利用电磁阻力来减小航天器下落的速度。若在航天器上固定一边长为1 m的正方形闭合线圈，航天器竖直降落时线圈平面始终与磁场垂直，上下两边始终处于水平状态，为使航天器速度为1 km/s时产生的电磁阻力(只对该闭合线圈产生的作用力)为1 000 N，则线圈电阻的阻值R为(　 )
A．2.5×10－14 Ω B．5×10－11 Ω
C．6.25×10－8 Ω D．1×10－5 Ω
解析：选C　由磁场分布规律可知，线圈上下两边所处位置的磁感应强度大小之差ΔB＝＝2.5×10－4T，线圈上下两边产生的总感应电动势大小E＝ΔBLv，线圈上下两边产生的总安培力大小F＝ΔBIL，其中I＝，解得R＝6.25×10－8 Ω，故C正确。
3.一个边长为2L的等边三角形磁场区域，一个底边长为L的直角三角形金属线框，线框电阻为R，二者等高，金属线框以速度v水平向右匀速穿过磁场区域的过程中，规定逆时针方向的电流为正，则线框中感应电流i随位移x变化的图像正确的是(　 )
解析：选B　当x＜L时，感应电动势为E＝Bvx，感应电流为I＝＝Bvx，由楞次定律可知电流为正向且逐渐增大，当L≤x＜2L时，感应电动势为E＝B(2L－x)v，感应电流为I＝＝BvL－Bvx，由楞次定律可知电流为正向且逐渐减小，当2L≤x＜3L时，感应电动势为E＝Bv(3L－x)，感应电流为I＝＝BvL－Bvx，由楞次定律可知电流为负向且逐渐减小，B正确。
4．(多选)如图(a)所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图(b)所示的匀强磁场，t＝0时磁场方向垂直纸面向里。在t＝0到t＝2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；t＝2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则(　 )
A．在t＝时，金属棒受到安培力的大小为
B．在t＝t0时，金属棒中电流的大小为
C．在t＝时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D．在t＝3t0时，金属棒中电流的方向向右
解析：选BC　由题图可知在0～t0时间段内产生的感应电动势为E＝＝，根据闭合电路欧姆定律可知此时间段的电流为I＝＝，在时磁感应强度为，此时安培力为F＝BIL＝，故A错误，B正确；由图可知在t＝时，磁场方向垂直纸面向外并逐渐增大，根据楞次定律可知产生顺时针方向的电流，再由左手定则可知金属棒受到的安培力方向竖直向上，故C正确；由图可知在t＝3t0时，磁场方向垂直纸面向外，金属棒向下运动的过程中磁通量增加，根据楞次定律可知金属棒中的感应电流方向向左，故D错误。
5.(多选)如图所示，水平面上足够长的光滑平行金属导轨，左侧接定值电阻，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。金属杆MN以某一初速度沿导轨向右滑行，且与导轨接触良好，导轨电阻不计。则金属杆MN在运动过程中，速度大小v、流过的电荷量q与时间t或位移x的关系图像正确的是(　 )
解析：选ABD　金属杆在前进过程中，所受安培力大小F＝BIL＝，可知随速度的减小，安培力逐渐减小，加速度逐渐减小，最后停止运动，因此在v t图像中，斜率的绝对值逐渐减小，A正确；根据动量定理F·Δt＝m·Δv可得－·Δt＝m·Δv，而Δx＝v·Δt，因此－·Δx＝m·Δv，速度随位移均匀变化，可知v x图像为一条倾斜的直线，B正确；根据I＝＝，可知随着速度的减小，q t图像是一条斜率逐渐减小的曲线，C错误；由于I＝，两边同时乘以Δt可得I·Δt＝·Δt，而Δq＝I·Δt，整理得Δq＝·Δx，可知q x图像为一条过坐标原点的倾斜直线，D正确。
6.(多选)半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r、电阻为R的均匀直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆轨道中心O。装置的俯视图如图所示，整个装置位于一匀强磁场内，磁感应强度大小为B，方向竖直向下，在两环之间接阻值为R的定值电阻和电容为C的电容器。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动。在转动过程中始终与导轨保持良好接触，导轨电阻不计。下列说法正确的是(　 )
A．导体棒中电流由A流向B
B．导体棒两端电压为Bω2r
C．电容器的M板带正电
D．电容器所带电荷量为CBωr2
解析：选CD　根据右手定则易知A错误。在t时间内，导体棒扫过的面积S＝ωt[(2r)2－r2]＝ωtr2，根据法拉第电磁感应定律E＝＝ωBr2，导体棒两端电压U＝E＝ωBr2，B错误。A点电势高于B点电势，故M板带正电，C正确。电容器两端电压U＝ωBr2，故所带电荷量为Q＝UC＝ωBCr2，D正确。
7.如图所示， 一半径为l＝0.5 m的金属圆环水平放置，长度为2l的粗细均匀的金属棒OP搭在圆环上且一端O点与圆心重合，金属棒OP的电阻为R＝4 Ω，转动时棒与圆环保持良好接触。额定电压为U＝2 V、内阻为r＝2 Ω的电动机 M通过导线分别连接棒上O点和圆环上Q点，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝2 T，圆环及导线电阻不计。当金属棒绕圆心以角速度ω＝12 rad/s顺时针(俯视)匀速转动时，电动机恰好正常工作，求：
(1)通过电动机的电流方向及电动机的输出功率；
(2)金属棒两端点的电压UOP。
解析：(1)根据右手定则，电流方向为b→a，金属棒在回路中产生的感应电动势为E＝Bl，通过电动机的电流I＝，电动机的输出功率P＝UI－I2r，联立代入数据解得P＝0.5 W。
(2)金属棒在PQ段两端的电压为UQP＝Bl，金属棒两端点的电压UOP＝UQP＋UO Q，UO Q＝U，解得UOP＝11 V。
答案：(1)电流方向b→a　0.5 W　(2)11 V
B级——重点选做
8.(多选) 如图所示，在0≤x≤L和2L≤x≤3L的区域内存在着相同的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面(纸面)向里，具有一定电阻的正方形线框abcd边长为2L，位于xOy平面内，线框的ab边与y轴重合。令线框从t＝0时刻由静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，ab边在t0时刻到达x＝L位置，则线框中的感应电流I(取逆时针方向的电流为正)、bc两端的电势差Ubc与时间t的函数图像大致是下列图中的(　 )
解析：选AC　线框ab边从x＝0运动到x＝L的时间为t0，由运动学规律可得L＝at02，解得t0＝ ，当t＝t0时感应电流I＝＝，电流随时间均匀增大，由楞次定律可知，感应电流沿逆时针方向；设线框ab边从x＝L运动到x＝4L的时间为t1，则由运动学公式得t1＝－t0＝t0，这段时间内穿过线框的磁通量不变，线框内没有感应电流；设线框ab边从x＝4L运动到x＝5L的时间为t2，则由运动学公式得t2＝－≈0.236t0，根据楞次定律得，感应电流方向沿顺时针方向，当t＝2t0时感应电流为I＝－＝－，故A正确，B错误；bc两端电势差Ubc＝IRbc，bc为外电路，故电势差变化和电流变化相同，故C正确，D错误。
9.迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行。系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图所示。在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为r。导体绳所受的安培力克服大小为f的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上。已知卫星离地平均高度为H，导体绳长为L(L H)，地球半径为R、质量为M，轨道处磁感应强度大小为B，方向垂直于赤道平面。忽略地球自转的影响。据此可得，电池电动势为(　 )
A．BL ＋ B．BL －
C．BL ＋ D．BL －
解析：选A　根据右手定则，导体绳切割磁感线产生的感应电动势方向向上，由于L H，可认为导体绳平动切割磁感线，其产生的电动势大小为BLv，则导体绳中总电动势为E总＝E电－BLv；对卫星由万有引力等于向心力G＝m，解得v＝ ；由题意：BIL＝f，其中I＝，联立可得：E电＝BL＋，故A正确，B、C、D错误。
10．一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气(Ne)的电离室中有两电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连。在与长直导线垂直的平面内，以导线为对称轴安装一个用阻值R0＝10 Ω的细导线绕制、匝数N＝5×103的圆环形螺线管，细导线的始末两端c、d与阻值R＝90 Ω的电阻连接。螺线管的横截面是半径a＝1.0×10－2 m的圆，其中心与长直导线的距离r＝0.1 m。气体被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其I t图像如图乙所示。为便于计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为B＝，其中k＝2×10－7 T·m/A。
(1)求0～6.0×10－3 s内通过长直导线横截面的电荷量Q；
(2)求3.0×10－3 s时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量Φ；
(3)若规定c→R→d为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，画出通过电阻R的iR t图像；
(4)若规定c→R→d为电流的正方向，考虑线圈自感，定性画出通过电阻R的iR t图像。
解析：(1)由电量和电流的关系q＝It可知I t图像下方的面积表示电荷量，因此有Q＝1Δt1＋I2Δt2＋3Δt3，代入数据解得Q＝0.5 C。
(2)由磁通量的定义可得Φ＝BS＝×πa2，
代入数据可得Φ＝6.28×10－8 Wb。
(3)在0～1.0×10－3 s时间内电流均匀增加，由楞次定律可知感应电流的方向为c→R→d，
产生恒定的感应电动势E＝N＝×
由闭合电路的欧姆定律可得iR＝
代入数据解得iR＝3.14×10－3A
在1.0×10－3～5.0×10－3 s电流恒定，穿过圆形螺线管的磁场恒定，因此感应电动势为零，感应电流为零，而在5.0×10－3～6.0×10－3 s时间内电流随时间均匀变化，斜率大小和0～1.0×10－3 s大小相同，因此电流大小相同，由楞次定律可知感应电流的方向为d→R→c，则图像如图甲所示。
(4)考虑自感的情况下，线圈会产生自感电动势阻碍电流的增加，因此电流是缓慢增加的，过一段时间电路达到稳定后自感消失，电流的峰值和之前大小相同，在1.0×10－3～5.0×10－3 s时间内电路中的磁通量不变化，电流要减小为零，因此自感电动势会阻碍电流的减小，使得电流缓慢减小为零，电流图像如图乙所示。
答案：(1)0.5 C　(2)6.28×10－8 Wb　(3)见解析图甲　(4)见解析图乙2024届高三一轮复习小练(四十一)　
电磁感应中的电路和图像问题
A级——全员必做
1.如图所示，变化的匀强磁场垂直穿过金属框架MNQP，金属杆ab在恒力F作用下沿框架从静止开始运动，t＝0时磁感应强度大小为B0，为使ab中不产生感应电流，下列能正确反映磁感应强度B随时间t变化的图像是(　 )
2．某星球表面0～200 km高度范围内，水平方向磁场的磁感应强度大小随高度增加由60 T均匀减小至10 T，为使航天器能在星球表面安全降落，可以利用电磁阻力来减小航天器下落的速度。若在航天器上固定一边长为1 m的正方形闭合线圈，航天器竖直降落时线圈平面始终与磁场垂直，上下两边始终处于水平状态，为使航天器速度为1 km/s时产生的电磁阻力(只对该闭合线圈产生的作用力)为1 000 N，则线圈电阻的阻值R为(　 )
A．2.5×10－14 Ω B．5×10－11 Ω
C．6.25×10－8 Ω D．1×10－5 Ω
3.一个边长为2L的等边三角形磁场区域，一个底边长为L的直角三角形金属线框，线框电阻为R，二者等高，金属线框以速度v水平向右匀速穿过磁场区域的过程中，规定逆时针方向的电流为正，则线框中感应电流i随位移x变化的图像正确的是(　 )
4．(多选)如图(a)所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图(b)所示的匀强磁场，t＝0时磁场方向垂直纸面向里。在t＝0到t＝2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；t＝2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则(　 )
A．在t＝时，金属棒受到安培力的大小为
B．在t＝t0时，金属棒中电流的大小为
C．在t＝时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D．在t＝3t0时，金属棒中电流的方向向右
5.(多选)如图所示，水平面上足够长的光滑平行金属导轨，左侧接定值电阻，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。金属杆MN以某一初速度沿导轨向右滑行，且与导轨接触良好，导轨电阻不计。则金属杆MN在运动过程中，速度大小v、流过的电荷量q与时间t或位移x的关系图像正确的是(　 )
6.(多选)半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r、电阻为R的均匀直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆轨道中心O。装置的俯视图如图所示，整个装置位于一匀强磁场内，磁感应强度大小为B，方向竖直向下，在两环之间接阻值为R的定值电阻和电容为C的电容器。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动。在转动过程中始终与导轨保持良好接触，导轨电阻不计。下列说法正确的是(　 )
A．导体棒中电流由A流向B
B．导体棒两端电压为Bω2r
C．电容器的M板带正电
D．电容器所带电荷量为CBωr2
7.如图所示， 一半径为l＝0.5 m的金属圆环水平放置，长度为2l的粗细均匀的金属棒OP搭在圆环上且一端O点与圆心重合，金属棒OP的电阻为R＝4 Ω，转动时棒与圆环保持良好接触。额定电压为U＝2 V、内阻为r＝2 Ω的电动机 M通过导线分别连接棒上O点和圆环上Q点，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝2 T，圆环及导线电阻不计。当金属棒绕圆心以角速度ω＝12 rad/s顺时针(俯视)匀速转动时，电动机恰好正常工作，求：
(1)通过电动机的电流方向及电动机的输出功率；
(2)金属棒两端点的电压UOP。
B级——重点选做
8.(多选) 如图所示，在0≤x≤L和2L≤x≤3L的区域内存在着相同的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面(纸面)向里，具有一定电阻的正方形线框abcd边长为2L，位于xOy平面内，线框的ab边与y轴重合。令线框从t＝0时刻由静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，ab边在t0时刻到达x＝L位置，则线框中的感应电流I(取逆时针方向的电流为正)、bc两端的电势差Ubc与时间t的函数图像大致是下列图中的(　 )
9.迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行。系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图所示。在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为r。导体绳所受的安培力克服大小为f的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上。已知卫星离地平均高度为H，导体绳长为L(L H)，地球半径为R、质量为M，轨道处磁感应强度大小为B，方向垂直于赤道平面。忽略地球自转的影响。据此可得，电池电动势为(　 )
A．BL ＋ B．BL －
C．BL ＋ D．BL －
10．一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气(Ne)的电离室中有两电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连。在与长直导线垂直的平面内，以导线为对称轴安装一个用阻值R0＝10 Ω的细导线绕制、匝数N＝5×103的圆环形螺线管，细导线的始末两端c、d与阻值R＝90 Ω的电阻连接。螺线管的横截面是半径a＝1.0×10－2 m的圆，其中心与长直导线的距离r＝0.1 m。气体被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其I t图像如图乙所示。为便于计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为B＝，其中k＝2×10－7 T·m/A。
(1)求0～6.0×10－3 s内通过长直导线横截面的电荷量Q；
(2)求3.0×10－3 s时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量Φ；
(3)若规定c→R→d为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，画出通过电阻R的iR t图像；
(4)若规定c→R→d为电流的正方向，考虑线圈自感，定性画出通过电阻R的iR t图像。