人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章 随机变量及其分布》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）掷一枚均匀的硬币次，则出现正面的次数多于反面的次数的概率为
A. B. C. D.
2.（5分）已知离散型随机变量，的分布列为
则下列说法一定正确的是
A. B.
C. D.
3.（5分）假设，，且与相互独立，则
A. B. C. D.
4.（5分）甲乙两人进行乒乓球赛，三打二胜，已知每局甲取胜的概率为，乙取胜的概率是，那么甲胜乙的概率是
A. B. C. D.
5.（5分）一学生通过某种英语听力测试的概率为，他连续测试次，则恰有次获得通过的概率为
A. B. C. D.
6.（5分）已知某学生书桌上共有本辅导书，其中数学、物理、化学各本．每次从这本辅导书中取本有放回，每本书取到的机会均等，共取三次．设事件为“第一次取到的书和第二次取到的书科目相同”，事件为“三次取到的书科目都相同”，则
A. B. C. D.
7.（5分）下列选项正确的是
A. B.
C. D.
8.（5分）年月日至月日腊月廿三至腊月廿九我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数单位：万近似服从正态分布，则估计在此期间，至少有天该车站日接送旅客超过万人次的概率为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知随机变量的分布列如下，，则正确的有
A. B. C. D.
10.（5分）记分别为的对立事件，且，，，则
A. B.
C. D.
11.（5分）甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则
A. B.
C. D.
12.（5分）已知随机变量，若，则下列结论正确的有
A. B.
C. D.
13.（5分）袋子中共有大小和质地相同的个球，其中个白球和个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则
A. 甲与乙互斥 B. 乙与丙互斥 C. 甲与乙独立 D. 甲与乙对立
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在篮球比赛中，运动员每次罚球命中得分，罚不中得分，已知某运动员甲罚球命中的概率为，则他罚球次每次罚球结果互不影响的得分的数学期望是______．
15.（5分）设随机变量，则________.
16.（5分）设随机变量的分布列为…，，则________.
17.（5分）随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活．网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为，每箱苹果在运输中互不影响，则网购箱苹果恰有箱在运输中出现碰伤的概率为__________.
18.（5分）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关．则
某人在这项游戏中最多能过__________关；
他连过前三关的概率是__________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．
Ⅰ求该产品不能销售的概率；
Ⅱ如果产品可以销售，则每件产品可获利元；如果产品不能销售，则每件产品亏损元即获利元已知一箱中有产品件，记一箱产品获利元，求的分布列，并求出均值．
20.（12分）某次数学考试中有三道选做题，分别为选做题、、规定每位考生必须且只须在其中选做一题．甲、乙、丙三名考生选做这一题中任意一题的可能性均为，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．
求这三个人选做的是同一道题的概率：
设为三个人中做选做题的人数，求的分布列与均值．
21.（12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动，“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车”铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念．某机构随机调查了本市名成年市民某月的骑车次数，统计如下：
岁至岁
岁至岁
岁至岁
岁及以上
联合国世界卫生组织于年确定新的年龄分段：岁及以下为青年人，岁至岁为中年人，岁及以上为老年人．记本市一个年满岁的青年人月骑车的平均次数为以样本估计总体．
Ⅰ估计的值；
Ⅱ在本市老年人或中年人中随机访问位，其中月骑车次数超过的人数记为，求的分布列与数学期望．
22.（12分）某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都举行“快乐体育”活动．在一次“套圈圈”的游戏中，规则如下：在规定的米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于次称为“最佳拍档”，甲、乙两人同一组，甲、乙两人丟圈套中的概率为别为，，假设两人是否套中相互没有影响．
若，，设甲、乙两人丟圈套中的次数之和为，求的分布列及数学期望；
若，则游戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值．
23.（12分）随机将个连续正整数，，，，分成，两组，每组个数，组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为，记，，设表示“与的取值恰好相等”的事件，表示事件发生的概率．
当时，求的分布列和数学期望；
当时，求；
请判断与的大小，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式的合理运用．
解：抛掷一枚均匀的硬币次，相当于进行次独立重复试验，
出现正面次数多余反面次数的概率：

故选
2.【答案】D;
【解析】解：，
，
，
，
，，
故选：
先分别求出，，，，从而得到，
此题主要考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
3.【答案】C;
【解析】解：
故选：
根据相互独立事件概率公式求解即可．
此题主要考查相互独立事件概率公式，是基础题．
4.【答案】D;
【解析】
此题主要考查相互独立事件同时发生的概率及互斥事件有一个发生的概率，由已知分两类求解即可，属中档题.
甲胜乙有两种可能，第一种可能是，第二种可能是，求出种情况下的概率，相加即可.
解： 甲胜乙有两种可能，第一种可能是，第二种可能是，
若是，则由已知可得概率为，
若为，则前两局，各胜一局，第三局甲胜，概率为，
所以甲胜乙的概率是
故选
5.【答案】C;
【解析】解：一学生通过某种英语听力测试的概率为，他连续测试次，
则恰有次获得通过的概率为：
．
故选：．
利用次独立重复试验概率计算公式求解．
该题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意利用次独立重复试验概率计算公式的合理运用．
6.【答案】D;
【解析】
此题主要考查条件概率的计算，属于基础题.
事件包含的基本事件有个，事件包含的基本事件有个，再由条件概率计算公式，可得的值．

解：由题意，，
，
则，
故答案为
7.【答案】D;
【解析】解：根据条件概率公式及其性质，可得，，
故选：．
根据条件概率公式及其性质，可得结论．
该题考查条件概率公式及其性质，比较基础．
8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查相互独立事件及其概率的求法，属于基础题．
由已知可得，再由互斥事件及相互独立事件的概率计算公式求解．

解：由，得
故天中至少有天该车站日接送旅客超过万人次的概率为
故选
9.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望，属基础题.
查离散型随机变量的分布列中概率和为可得，再由离散型随机变量的期望公式运算即可求解得

解：由题意得：，解得：
又，解得：
故选：
10.【答案】ABC;
【解析】分析：此题主要考查条件概率，对立事件和事件得 概率问题，逐项判断
解：由，，所以
对于故 对
对于， 故对
对于：，故 对
对于：，故错
选
11.【答案】ABD;
【解析】解：甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，
以表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，
，故正确；
，，故正确；
，，故错误；
，故正确．
故选：
利用古典概型判断；利用对立事件概率、条件概率判断；利用全概率公式判断；利用贝叶斯公式判断
此题主要考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了二项分布的均值与方差的应用，属于基础题.
根据变量，可以根据公式得出这组变量的均值与方差，随机变量，知道变量也符合二项分布，从而得出结果.

解：，
所以，；
随机变量，所以，
因此，求得，

故选
13.【答案】BC;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，当第一次摸到白球、第二次摸到黑球时，甲乙同时发生，即甲乙不是互斥事件，错误；
对于，事件“第二次摸到黑球”与“第二次摸到黑球”不会同时发生，是互斥事件，正确；
对于，由于是有放回地依次随机抽取，则甲乙是相互独立事件，正确；
对于，事件甲和乙会同时发生，即甲乙不是对立事件，错误；
故选：
根据题意，由互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义依次分析选项，综合可得答案．
此题主要考查互斥事件、对立事件和相互独立事件的判断，注意三个概念的联系和不同，属于基础题．
14.【答案】1.4;
【解析】解：设此运动员每次罚球的得分为，则，
则．
故答案为：．
设此运动员每次罚球的得分为，可得，即可得出．
该题考查了二项分布列及其数学期望，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】;
【解析】
此题主要考查二项分布和期望，属于基础题.
先求出，再由期望的性质即可求解.

解：由题意知，
所以
故答案为
16.【答案】;
【解析】此题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，属于基础题由随机变量的分布列知服从二项分布，利用公式即可解得.
解：由，
可知，
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查相互独立事件同时发生的概率，考查应用意识与数学抽象的核心素养．是基础题.

解：依题意得两箱苹果是否碰伤是相互独立事件，
则
故答案为

18.【答案】;略;
【解析】

此题主要考查了古典概型的计算和相互独立事件同时发生的概率，因骰子出现的点数最大为，当时，次出现的点数之和大于已不可能，可得最多只能连过关．设事件为“第关过关失败”，则对立事件为“第关过关成功”．分别得出，可得连过前三关的概率.

解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的．
因骰子出现的点数最大为，而，
因此，当时，次出现的点数之和大于已不可能，
即这是一个不可能事件，过关的概率为，
所以最多只能连过关．
设事件为“第关过关失败”，则对立事件为“第关过关成功”．
第关游戏中，基本事件总数为个．
第关：事件所含基本事件数为即出现点数为和这两种情况，
所以过此关的概率为：
第关：事件所含基本事件数为方程，
当分别取，，时的正整数解组数之和．
即个，
过此关的概率为：
第关：事件所含基本事件为方程，
当分别取，，，，，时的正整数解组数之和，即个．
所以过此关的概率为：
故连过前三关的概率为
故答案为；
19.【答案】解 Ⅰ记“该产品不能销售”为事件，则．
所以，该产品不能销售的概率为．
Ⅱ由已知，可知的取值为，，，，．
，
，
，
，
．
所以的分布列为
分

所以，均值为;
【解析】
Ⅰ记“该产品不能销售”为事件，然后利用对立事件的概率公式解之即可；
Ⅱ由已知可知的取值为，，，，，然后根据次独立重复试验中恰好发生次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
这道题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）设事件A1表示三个人选做题1，A2表示三个人选做题2，A3表示三个人选做题3，
则这三个人选做的是同一道题的概率为P（A1+A2+A3）=3×=；
（2）ξ可能取值为0，1，2，3，且三名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，
∴P（ξ=k）=，k=0，1，2，3，
∴分布列为
ξ 0 1 2 3
P
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=1．;
【解析】
设事件表示三个人选做题，表示三个人选做题，表示三个人选做题，则这三个人选做的是同一道题事件为，根据互斥事件概率乘法公式，可得答案．
可能取值为，，，结合甲、乙、丙三名考生选做这一题中任意一题的可能性均为，可计算出的分布列及数学期望．
此题主要考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．
21.【答案】解：（Ⅰ）由已知可得下表
人数 次数
年龄 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 合计
青年人 10 20 40 60 80 90 300
中年人 22 18 33 37 19 11 140
老年人 15 13 10 12 5 5 60
本市一个青年人月骑车的平均次数：
μ=++35×+45×+55×=40．（5分）
（Ⅱ）本市老年人或中年人中月骑车时间超过40次的概率为=．（7分）
ξ=0，1，2，3，ξ～B，故P（ξ=k）=（k=0，1，2，3）．．（9分）
所以ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2 3
P
（11分）
E（ξ）==0.6．（12分）;
【解析】
Ⅰ由已知可得表格，即可得出本市一个青年人月骑车的平均次数．
Ⅱ本市老年人或中年人中月骑车时间超过次的概率为，，，，，故．
本小题主要考查对频数分布表的理解与应用，古典概型、随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：（Ⅰ）两人丢圈套中的次数值和为ξ，则ξ的值可能为0，1，2，3，4，
，
，，，
故分布列如下表：
ξ 0 1 2 3 4
p
．
（Ⅱ）他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率为，
∵，
∴，
∵0≤≤1，0≤≤1，，
∴，，
∴，令t=，以，
则，
当时，，
他们小组在n轮游戏中获“最佳拍档”次数ξ满足ξ～（n，p），
由（np）max=16，则n=27，所以理论上至少要进行27轮游戏．此时，，．;
【解析】
两人丢圈套中的次数值和为，则的值可能为，，，，，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．
结合次独立重复试验公式，以及期望公式，即可求解．
此题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．
23.【答案】解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5
其中P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
P（ξ=4）==，
P（ξ=5）==，
故随机变量ξ的分布列为：
ξ 2 3 4 5
P
ξ的数学期望E（ξ）=2×+3×+4×+5×=．
（2）∵D表示“ξ与η的取值恰好相等”的事件，
∴P（D）=2×，
当n=3时，P（D）=2×=．
（3）P（D）=2×，
n=1时，P（D）=2×=1＞，
n=2时，P（D）=2×=，
n=3时，P（D）=2×=＜．
综上，n=1或n=2时，P（D）＞，n≥3时，P（D）＜．;
【解析】
当时，的取值可能为，，，，求出概率得到分布列，然后求解期望．
表示“与的取值恰好相等”的事件，求出表达式，然后求解当时，的值．通过的表达式，利用，，就是求解判断即可．
该题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．