浙教版2023-2024学年九上数学第3章圆的基本性质 培优测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在中，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，
，，，
，，
，
故答案为：C.
2．如图，在中，，，.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】∵在中，，，，
∴，
∵点在内且点B在外，
∴，
故答案为：B.
3．勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接，
∵是等边三角形，
∴，
即，
∴．
∴该角度可以为．
故答案为：C
4．如图，在中，是弦，，半径为4，.则的长（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，作于点C，连接，
∵
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
5．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，为的直径，弦于E，寸，弦寸，则的半径为多少寸 （　　）
A．5 B．12 C．13 D．26
【答案】C
【解析】连接，如图所示，
设直径的长为，则半径，
为的直径，弦于，，
，
而，
根据勾股定理得，
解得，
即的半径为13寸．
故答案为：C．
6．如图，在中，以为直径的分别与交于点F，D，点F是的中点，连接交于点E．若．连接，则弦的长为（　　）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【解析】如图，连接，
为的直径，
，
点是的中点，
，，
，（等腰三角形三线合一），
，
，
，
又，
，
解得或（舍去），
，
故答案为：A．
7．【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．
【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接、
是小圆直径
=
故答案为：B
8．如图，正方形和正方形的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若，则半圆O的半径是（　　）
A． B．9 C． D．
【答案】D
【解析】连接，
设，
∵四边形是正方形且顶点D和C在圆上，
∴，，
∵，四边形是正方形，
∴，，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得或（舍去）
当时，，
则半圆O的半径是．
故答案为：D．
9．如图，，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线BP交于点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的弧BC上运动，
连接O'A交弧BC于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴弧BC所对圆周角为60°，
∴∠BO'C＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝
∴AE′＝O'A O'E′＝5 4＝1．
故答案为：D.
10．如图，半圆O的直径，弦，弦平分，的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接BD，BC，OD，交BC于点F，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB，
∴，
∴OD⊥CB，
∴BF=BC=8，∠BFO=90°，
∴，
∴DF=OD-OF=10-6=4，
在Rt△DFB中，
在Rt△ABD中
.
故答案为：C
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一条弦分圆周为4∶6，则这条弦所对的圆周角的度数为　 　．
【答案】72°或108°
【解析】如图，弦AB分⊙O的圆周为4：6，
∴，∴，∴，
∴这条弦所对的圆周角为：72°或108°.
故答案为：72°或108°．
12．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC=AE，∠D=128°，则∠B=　 　°。
【答案】116
【解析】连接AC，CE，
∵四边形ACDE内接于圆O，
∴∠CAE+∠C=180°，
∴∠CAE=180°-128°=52°，
∵AC=CE，
∴∠ACE=∠AEC=（180°-52°）=64°，
∵四边形ABCE内接于圆O，
∴∠B+∠AEC=180°，
∴∠B=180°-64°=116°.
故答案为：116
13．如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A=25°，则∠AFC=　 　
【答案】75°
【解析】弦AE∥BD，∠A＝25°，
∴∠D＝∠A＝25°，
∵弧DE=弧DE，
∴∠A＝∠EOD，
∴∠EOD＝2∠A=50°，
∴∠AFC＝∠D＋∠EOD＝25°＋50°=75°.
故答案为：75°.
14．如图，是的直径，弦垂足为若，则的半径为　 　.
【答案】5
【解析】如图，连接 .
，
.
设 ，则 .
是 的直径，弦 垂足为 ，
.
在 中， ，
.
.
.
.
的半径为5.
故答案为：5.
15．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点.若FM＝ ，则点O到FM的距离是 　 　.
【答案】
【解析】连接ON，过O作OH⊥FM于H，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG=120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM=60°，
∵OH⊥FM，OF=OM，
∴∠OFH=60°，∠OHF=90°，FH= FM=2 ，
∴OH= FH= ，
故答案为： .
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD平分∠ACB交AB于点D，以DB为直径作⊙O，分别交CD，BC于点E，F，连结BE，EF．则∠EBF＝　 　度；若DE＝DC，BC＝8，则EF的长为 　 　．
【答案】45；
【解析】如图，连结DF，作EG⊥BF于点G，
∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝ ∠ACB＝45°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB＝∠DEB＝90°，
∵∠CFD＝180°﹣∠DFB＝90°，
∴∠FDC＝∠FCD＝45°，
∴∠EBF＝180°﹣∠EDF＝∠FDC＝45°；
∵∠CEB＝90°，∠EBC＝∠ECB＝45°，BC＝8，DE＝DC，
∴CE＝BE，
∴CG＝BG＝ BC＝4，
∴EG＝ BC＝4，
∵∠CFD＝∠CGE＝90°，
∴DF∥EG，
∴ ＝1，
∴FG＝FC＝ CG＝2，
∴EF＝ ＝2 .
故答案为：45，2.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊥BC，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D、E，AB＝BC.
（1）求证：四边形DBEO是正方形；
（2）若AB＝2，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，
∴BD＝ AB，BE＝ BC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形DBEO是矩形，
∵AB＝AC，
∴BD＝BE，
∴四边形DBEO是正方形，
（2）解：∵∠ABC＝90°，
∴AC为直径，
∵AB＝BC＝2，
∴AC＝ ＝2 ，
∴OA＝ ，
∴⊙O的半径为 .
18．如图，AB为⊙O直径，CD是弦，以AC，CD为边构造 ACDE，点E在半径OB上．
（1）已知∠D＝75°．求证：＝4．
（2）延长CO分别交DE，⊙O于点F，G．求证：EB＝FG．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵四边形ACDE是平行四边形，∠CDE＝75°，
∴∠A＝∠CDE＝75°，AB∥CD，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝75°，
∴∠AOC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DCO＝∠AOC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠CDO＝∠DCO＝30°，
∴∠COD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠COD＝4∠AOC，
∴ ＝4 ；
（2）证明：如图，延长CO分别交DE，⊙O于点F，G，
∵AB∥CD，
∴∠OEF＝∠CDE＝75°，
∵∠EOF＝∠AOC＝30°，
∴∠OFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF，
∵OB＝OG，
∴OB﹣OE＝OG﹣OF，
即EB＝FG．
19．如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，.
（1）求证：点为的中点；
（2）若，，求的直径.
【答案】（1）证明： 是 的直径，
，
，
，
，
∴ ，
即点 为 的中点；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
的直径为 .
20．如图，在中，为弦，为直径，于点，于点，与交于点.
（1）求证：；
（2）若，求的半径.
【答案】（1）证明：∵AB⊥CD，BF⊥AC，
∴∠CFG=∠BEG=∠BED=90°，
∵∠CGF=∠BGE，
∴∠C=∠GBE，
∵，
∴∠C=∠EBD=∠GBE，
在△GBE和△DBE中∴△GBE≌△DBE（AAS），
∴ED=EG
（2）解： 连接OB，
∵CD⊥AB，CD是直径，
∴BE=AB=4，
设圆的半径为r，DG=r+1，
∵EG=DE，
∴OE=，
在Rt△OBE中，OB2=OE2+BE2，
∴
解之：（舍去）
∴圆的半径为
21．如图，E是半圆O上一点，C是的中点，直径AB∥弦DC，交AE于点F．
（1）求证：CF＝AF．
（2）连结OE，当AB＝4，OE⊥CD时，求EF的值．
【答案】（1）证明：∵ ＝ ，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵AB∥DC，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴CF＝AF．
（2）解：连结OE、OC，OE交CD于点G，则OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
由（1）得∠OAC＝∠FAC，
∴∠OCA＝∠FAC，∴OC∥AF，
∵CF∥OA，
∴四边形OAFC是菱形，
∵AB＝4，
∴OE＝OA＝FA＝2，
∵OE⊥CD，AB∥DC，
∴∠AOE＝∠DGE＝90°，
∴AE＝ ＝2 ，
∴EF＝AE﹣AF＝2 ﹣2，
∴EF的值为2 ﹣2．
22．如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接.
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
证明：∵平分，平分，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∵为直径，∴.
∴是等腰直角三角形.
另解：计算也可以得证.
（2）解：连接，，，交于点.
∵，
∴.
∵，
∴垂直平分.
∵是等腰直角三角形，，
∴.
∵，∴.
设，则.
在和中，.
解得，.
∴.
∴.
另解：分别延长，相交于点.则为等腰三角形，先计算，，，再根据面积相等求得.
23．如图1，已知是的直径，内接于， 点是一动点 （点不与点重合）．
（1）若， 连结， 求证：．
（2）在（1）的条件下，求的长．
（3）如图2，若平分，连结，求的面积．
（4）当为何值时，为等腰三角形？
【答案】（1）证明：如图1，连接BD交OC于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴OC⊥BD，
∴∠BHO＝，
∴∠ADB＝∠BHO，
∴OC∥AD；
（2）解：∵AB＝10，BC＝6，
∴OC＝AO＝OB＝5，
∵∠BHO＝∠BHC＝，
∴＝，
∴＝，
∴OH＝1.4，
∵，
∴DH＝BH，
∴AD＝2OH＝2.8；
（3）解：连结BD，作AG⊥CD于点G，
∵AB是直径，
∴．
∵CD平分，
∴，
，
，，
，
，
，
∴．
（4）解：①当AC＝AD＝8时，△ACD为等腰三角形，
②当AC＝CD＝8时，△ACD为等腰三角形，
如图，过C作CF⊥AD于F，
∴AD＝2DF，∠CFD＝，
∵∠B＝∠D，∠CFD＝∠ACB＝，
∴△CDF∽△ABC，
∴，
∴，
∴DF＝，
∴AD＝；
③当AD＝CD时，△ACD为等腰三角形，
如图，当点D在优弧ADC时，连接DO并延长交AC于M，
则AM＝CM＝AC＝4，DM⊥AC，
∵AO＝BO，
∴OM＝BC＝3，
∴DM＝OM＋OD＝8，
，
当点D在劣弧AD时，同理可得AD＝，
综上所述，当AD为8或或或时，△ACD为等腰三角形．
24．已知的直径为10，D为上一动点（不与A、B重合），连接.
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，弦平分，过点A作于点E，连接.
①当时，求的值；
②在点D的运动过程中，的值是否存在最小值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1，为的直径，
，
；
故的值为6.
（2）解：①当时，如图所示，
∵弦平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
又，
∴，即，
解得（舍去）
综上所述，的长为；
②在点D的运动过程中，存在最小值，解答如下：
如图3，连接，取中点F，连接，过点F作于H，
，
，
，
，
，，
，F为中点，
，
，
，
，
，
（当且仅当点E在线段上时等号成立），
即，
的最小值是.
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浙教版2023-2024学年九上数学第3章圆的基本性质 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在中，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，在中，，，.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，是弦，，半径为4，.则的长（　　）
A． B． C． D．
5．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，为的直径，弦于E，寸，弦寸，则的半径为多少寸 （　　）
A．5 B．12 C．13 D．26
6．如图，在中，以为直径的分别与交于点F，D，点F是的中点，连接交于点E．若．连接，则弦的长为（　　）
A． B． C．4 D．5
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7．【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．
【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方形和正方形的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若，则半圆O的半径是（　　）
A． B．9 C． D．
9．如图，，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线BP交于点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
10．如图，半圆O的直径，弦，弦平分，的长为（　　）
A． B． C． D．
（第10题） （第12题） （第13题） （第14题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一条弦分圆周为4∶6，则这条弦所对的圆周角的度数为　 　．
12．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC=AE，∠D=128°，则∠B=　 　°。
13．如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A=25°，则∠AFC=　 　
14．如图，是的直径，弦垂足为若，则的半径为　 　.
15．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点.若FM＝ ，则点O到FM的距离是 　 　.
（第15题） （第16题）
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD平分∠ACB交AB于点D，以DB为直径作⊙O，分别交CD，BC于点E，F，连结BE，EF．则∠EBF＝　 　度；若DE＝DC，BC＝8，则EF的长为 　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊥BC，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D、E，AB＝BC.
（1）求证：四边形DBEO是正方形；
（2）若AB＝2，求⊙O的半径.
18．如图，AB为⊙O直径，CD是弦，以AC，CD为边构造 ACDE，点E在半径OB上．
（1）已知∠D＝75°．求证：＝4．（2）延长CO分别交DE，⊙O于点F，G．求证：EB＝FG．
19．如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，.
（1）求证：点为的中点；（2）若，，求的直径.
20．如图，在中，为弦，为直径，于点，于点，与交于点.
（1）求证：；（2）若，求的半径.
21．如图，E是半圆O上一点，C是的中点，直径AB∥弦DC，交AE于点F．
（1）求证：CF＝AF．
（2）连结OE，当AB＝4，OE⊥CD时，求EF的值．
22．如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接.
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长.
23．如图1，已知是的直径，内接于， 点是一动点 （点不与点重合）．
（1）若， 连结， 求证：．
（2）在（1）的条件下，求的长．
（3）如图2，若平分，连结，求的面积．
（4）当为何值时，为等腰三角形？
24．已知的直径为10，D为上一动点（不与A、B重合），连接.
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，弦平分，过点A作于点E，连接.
①当时，求的值；
②在点D的运动过程中，的值是否存在最小值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.
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