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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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浙教版九年级上学期数学期中模拟试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）
A. B. C. D.
2.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6
3.如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=x- 与☉O的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上三种情况都有可能
4.在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
5.如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其中对称轴为x=﹣1，且过（﹣3，0），下列说法：①abc＜0，②2a＜b，③4a+2b+c=0，④若（﹣5，y1），（5，y2）是抛物线上的点，则y1＜y2 ， 其中说法正确的有（　　）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
6.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A. y＝x2－2x－1 B. y＝－x2＋2x－1 C. y＝x2＋2x－1 D. y＝－x2＋4x＋1
8.A、B、C、D四名选手参加50米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若A首先抽签，则A抽到1号跑道的概率是（ ）
A. 1 B. C. D.
9.半圆的圆心角（　　）
A. 大于180° B. 等于180° C. 在90°～180°之间 D. 等于90°
10.如图，平行四边形ABCD内接于⊙O，则∠ADC=（ ）
A. 45° B. 50° C. 60° D. 75°
二、填空题（共5题；共10分）
11.袋子中有20个除颜色外完全相同的小球. 在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀. 重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是________。
12.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为________.
13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=30，BC=40，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB’=________．
14.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图像 ，在下列四个结论中正确的是________．
①不等式ax2+bx+c＞0的解集是-1＜x＜5；②a-b+c＞0；③b2-4ac＞0；④4a+b＜0．
15.如图，已知半圆O的直径AB为12，OP=1，C为半圆上一点，连结CP。若将CP沿着射线AB方向平移至DE，若DE恰好与⊙O相切于点D，则平移的距离为________．
三、综合题（共7题；共90分）
16.已知如图，矩形OABC的长OA=， 宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC.
（1）求∠PCB的度数
（2）若P，A两点在抛物线y=x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标.
17.月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量 (万件)与销售价格 （元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为 （万元）.（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本.）
（1）请求出 （万件）与 （元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润 （万元）与 （元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值；
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润 （万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格 （元）定在8元以上（ ），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润 （万元）与销售价格 （元/件）的函数示意图，求销售价格 （元/件）的取值范围.
18.已知， 内接于 ，点 是弧 的中点，连接 、 ；
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，若 平分 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值.
19.甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示.若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜.
（1）用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
20.如图，在 中， ，点 ， ， 分别在 ， ， 边上，且 ， ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）当 时，求 的度数；
（3）若 ，判断 是否为等边三角形．
21.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
22.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答 案
一、单选题
1. C 2. B 3. B 4. A 5. C 6. C 7. C 8. D 9. B 10.C
二、填空题
11. 4 12. y=-x2+4x-3 13. 15 14. ①③． 15. 8
三、综合题
16.解：（1）在Rt△OAC中，OA=，OC=1，则∠OAC=30°，∠OCA=60°；
根据折叠的性质知：OA=AP=，∠ACO=∠ACP=60°；
∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，
∴∠PCB=30°．
（2）过P作PQ⊥OA于Q；
Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=；
∴OQ=AQ=，PQ=，
所以P（，）；
将P、A代入抛物线的解析式中，得：
，解得；即y=x2+x+1；
当x=0时，y=1，故C（0，1）在抛物线的图象上．
（3）①若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴，
∴过点D作DM∥CE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形，
把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为（，1）
把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为（，0）
∴M（，0）；N点即为C点，坐标是（0，1）；
②若DE是平行四边形的边，
过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，
∴DE=AN===2，
∵tan∠EAN==，∴∠EAN=30°，
∵∠DEA=∠EAN，∴∠DEA=30°，
∴M（，0），N（0，-1）；
同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，
∴M（，0），N（0，1）．
17. （1）解：当4≤x≤8，设y= ，将A（4，40）代入得k=4×40=160
所以y与x之间的函数关系式为：y= ,
当8＜x≤28时，设y=kx+b，将B（8，20）、C（28，0）代入得
，解得 ，∴y与x之间的函数关系为y=-x+28 ,
∴综上所述得：
（2）解：当 时， ，∵z随着x的增大而增大，∴当x=8时，z最大值为 ,
当8∴当x=16时，z最大值为-16 ,
∵-16>-80 ∴当每件的销售价格定位16元时，第一年的年利润的最大值为-16万元
（3）解：∵第一年的年利润为-16万元，∴16万元应作为第二年的成本
∴第二年的年利润z=（x-4）（-x+28）-16= ,
令z=103，则 =103，解得 ,
在平面直角坐标系中，画出z与x的函数示意图如图，观察可知，z≥103时，11≤x≤21
∴当11＜x≤21时，第二年的年利润z不低于103万元.
18. （1）证明：∵点P是弧AB的中点，如图1，
∴AP＝BP，
在△APC和△BPC中
，
∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠ACP＝∠BCP，
在△ACE和△BCE中
，∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴∠AEC＝∠BEC，
∵∠AEC+∠BEC＝180°，∴∠AEC＝90°，∴AB⊥PC
（2）证明：∵PA平分∠CPM， ∴∠MPA＝∠APC，
∵∠APC+∠BPC+∠ACB＝180°，∠MPA+∠APC+∠BPC＝180°，
∴∠ACB＝∠MPA＝∠APC，
∵∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC
（3）解：过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图2，
由（2）得出AB＝AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴ = ，
设OB＝25x，则BD＝24x，∴OD＝ ＝7x，
在 中，AD＝25x+7x＝32x，BD＝24x，∴AB＝ ＝40x，
∵AC＝8，∴AB＝40x＝8，
解得：x＝0.2，∴OB＝5，BD＝4.8，OD＝1.4，AD＝6.4，
∵点P是 的中点，∴OP垂直平分AB，∴AE＝ AB＝4，∠AEP＝∠AEO＝90°，
在 中，OE＝ ，∴PE＝OP﹣OE＝5﹣3＝2，
在 中，AP＝ .
19. （1）解：列表如下：
1 2 3 4
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
由表格可知(x，y)所有可能出现的结果共有16种
（2）解：这个游戏对双方公平，理由如下：
由列表法可知，在16种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等，
∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝ ，
∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝ ，
∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)，
∴这个游戏对双方公平.
20. （1）证明： ，
，
在 和 中，
，
，
，
是等腰三角形
（2）解： ，
即 ，
，
，
，
又 在 中， ， ，
，
（3）解：由（1）知： 是等腰三角形，即 ，
由（2）知， ，
，
，
，
，
，
的等边三角形，
，
的等边三角形
21. （1）解：把A(1，0)和C(0，3)代入y＝x2＋bx＋c得
解得
∴二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3.
（2）令y＝0，则x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴B(3，0)，∴BC＝3 .
P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，
①当CP＝CB时，PC＝3 ，
∴OP＝OC＋PC＝3＋3 或OP＝PC－OC＝3 －3
∴P1(0，3＋3 )，P2(0，3－3 )；
②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，
∴P3(0，－3)；
③当PB＝PC时，
∵OC＝OB＝3，∴此时P与O重合，∴P4(0，0)．
综上所述，点P的坐标为(0，3＋3 )或(0，3－3 )或(0，－3)或(0，0)．
（3）如图，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2－t，则DN＝2t，
∴S△MNB＝ ×(2－t)×2t＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，
即当M(2，0)，N(2，2)或(2，－2)时△MNB面积最大，最大面积是1
22. （1）解：把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得： ，
解得： ，则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3
（2）解：设直线BC解析式为y=kx﹣3，
把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，
∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，
∴直线AM解析式为y= x+m，
把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，
∴直线AM解析式为y= x﹣1，
联立得： ，解得： ，则M（﹣ ，﹣ ）
（3）解：存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况考虑：
设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），
当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），
根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，
解得：m=1± ，x=2± ，
当m=1+ 时，m2﹣2m﹣3=8+2 ﹣2﹣2 ﹣3=3，即P（1+ ，3）；
当m=1﹣ 时，m2﹣2m﹣3=8﹣2 ﹣2+2 ﹣3=3，即P（1﹣ ，3）；
当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），
根据平移规律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，
解得：m=0或2，
当m=0时，P（0，﹣3）（舍去）；当m=2时，P（2，﹣3），
综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+ ，3）或（1﹣ ，3）或（2，﹣3）.
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