湘教版数学八年级上册
第1章分式微专题——增根和无解问题训练1
一、单选题
1．若关于的方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
3．若方程无解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣2 C．1或 D．或2
6．若关于x的分式方程无解，则a的值是（ ）
A． B．0 C．1.5 D．2
7．关于x的方程有增根，则m的值为（　　）
A． B．6 C．和6 D．0
8．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A． B．1 C．或2 D．或
二、填空题
9．若关于的分式方程无解．则的值为 ．
10．若关于的分式方程无解，则的值为
11．若分式方程有增根，则a的值为
12．若用去分母的方法解关于x的方程有增根，则 ．
13．若有增根，则这个方程的增根是 ．
14．若关于的分式方程无解，则的值为 ．
三、解答题
15．已知关于x的分式方程无解，求a的值
16．关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
17．已知关于的分式方程．
(1)当时，求这个分式方程的解；
(2)小明认为当时，原分式方程无解，你认为小明的结论正确吗？请判断并说明理由．
18．若关于x的分式方程无解，求m的值．
19．已知关于的分式方程．
(1)若分式方程的根是，求的值；
(2)若分式方程无解，求的值．
20．已知关于的分式方程
(1)若分式方程的根是，求的值
(2)若分式方程有增根，求的值
(3)若分式方程有无解，求的值
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】首先将原分式方程去分母化为整式方程得到，，并进一步整理，由方程有增根，可知是方程的增根，将代入得到的整式方程中，计算即可得出结论．
【详解】由得：，
∴，
∵方程有增根，
∴，即，
解得：，
故选：．
【点睛】此题考查了分式方程及增根的定义知识，熟练掌握分式方程的解法是关键．
2．D
【分析】先解关于x的分式方程，得，由题意，该方程有增根，因为增根为，所以，由此可求出m的值．
【详解】解：
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了含参分式方程的解法，增根的概念，正确理解以上概念并进行正确的计算，是解题的关键．
3．A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母得：，
由分式方程无解，得到，即，
把代入，得：．
故选：A．
【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程无解的条件是解本题的关键．
4．C
【分析】根据关于分式方程有增根得出最简公分母为，把分式方程化为整式方程，再把增根代入计算即可．
【详解】解：∵关于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
原分式方程去分母后得：，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的增根，解题的关键是掌握最简公分母为是分式方程有增根的条件．
5．C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到或，
把代入整式方程得：
解得：；
把代入整式方程得：，
解得：；
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．D
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由原分式方程无解得出增根，代入整式方程即可求出a的值．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵关于x的分式方程无解，
∴．
∴．
把代入得，，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的意义，原分式方程转化为整式方程求出的解使原分式方程的分母等于零，这样的根叫作增根，则原分式方程无解，熟知分式方程无解的意义是解题的人关键．
7．C
【分析】化为整式方程，求得方程的最简公分母，根据方程有增根，得到x，代入整式方程，即可求解．
【详解】解：由题意可得：最简公分母为，当时，，
去分母得：，
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的求解，根据方程有增根求解参数的值，熟练掌握分式方程的求解以及分式方程增根的含义是解题的关键．
8．D
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式无解得到关于m的方程求解即可．
【详解】解：方程两边都乘以，得
，
整理，得，
当即时，方程无解，即原分式方程无解；
当时，，
∵当或时，原分式方程无解，
∴或，则，
综上，满足条件的m值为或，
故选：D．
【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解答的关键．
9．1
【分析】解分式方程得，由分式方程无解可得，从而可得，进行计算即可得到答案．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
关于的分式方程无解，
，
，
，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题、解分式方程，分式方程无解有两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根．
10．或
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由一元一次方程未知数的系数为确定的值和分式方程无解确定出的值，进而即可求出的值．
【详解】解：，
去分母得：，
整理得，，
∴当时，即时，方程无解，
当时，即时，，
∵方程无解，
∴或都是方程的增根，
∴或，
无解，
解得，
∴或时，此时分式方程无解，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
11．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【详解】解∶去分母，得，
∵分式方程有增根，
∴，
∴，
把代入，
得，
解得．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．2
【分析】先去分母求出方程的根用含k的式子表示，再把增根代入解中求出k．
【详解】解：，
，
故，
增根为，
把增根代入得，
解得，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查含增根的分式方程求解，解题的关键是熟知分式方程的求解．
13．
【分析】方程两边同乘以，变分式方程为整式方程，根据有增根可知，方程的增根为或，而把代入，没有合适的m值，把代入，可以得出，得出方程的增根为．
【详解】解：，
方程两边同乘以得：，
整理得：，
∵有增根，
∴或，
把代入得：，此方程无解；
把代入得：，
解得：，
∴这个方程的增根为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根问题，解题的关键是根据分母为0时，或，判断方程的增根．
14．10或或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【详解】解：（1）为原方程的增根，
此时有，即，
解得；
（2）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（3）方程两边都乘，
得，
化简得：．
当时，整式方程无解．
综上所述，当或或时，原方程无解．
故答案为：10或或3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
15．或0或
【分析】若关于x的分式方程无解，则最简公分母为零或所化成的整式方程无解，据此求解即可．
【详解】解：方程两边同乘 得，
，
，
当 即时，整式方程无解，即分式方程无解；
当时，有或时，分式方程无解，
此时或，
解得或，
经检验均为所列方程的解，
综上所述，或0或．
【点睛】本题主要考查分式方程无解问题．本题的易错点在于只考虑到了最简公分母为零的情况，而忽略了化为整式方程后，整式方程无解这一情况，从而导致答案不全．
16．原方程的增根是或.当时，；当时，.
【分析】令最简公分母为0，即可求得增根，把分式方程化为整式方程，将增根分别代入求解即可.
【详解】解：∵原方程有增根，
∴增根必定使最简公分母，
∴或是原方程的增根．
给原方程两边同乘，可得：.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上所述，原方程的增根是或.当时，；当时，.
【点睛】本题主要考查了解分式方程、增根等知识点，理解增根的意义和解分式方程的基本步骤是解答本题的关键．
17．(1)
(2)无解
【分析】（1）先去分母，将代入求解即可，注意检验；
（2）先去分母，将代入求解即可，注意检验．
【详解】（1）解：去分母，得，
当时，，
解得，
经检验，是原方程的解，
；
（2）小明的结论正确，理由如下：
去分母，得，
当时，，
解得，
经检验，是原方程的增根，
原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
18．的值为或1或6
【分析】解分式方程，然后根据分式方程无解，进行求解即可．
【详解】解：，
两边同乘以得，，
整理，得，
解得，，
当时，原方程无解，此时，解得：；
当时，原方程无解，此时，解得：；
当时，无意义，原方程无解，解得：；
综上，的值为或1或6．
【点睛】本题考查了分式方程的解．解题的关键在于熟练掌握分式方程无解的所有情况．
19．(1)
(2)或
【分析】（1）把代入方程计算，即可求出的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求的值即可．
【详解】（1）解：分式方程的根是，
，
解得，
的值为；
（2）解：①去分母得：，
当时，方程无解，
，
②当分式方程有增根，
或，
当时，，
当时，，
，
的值为；
，
若分式方程无解，的值为或．
【点睛】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；
（2）原方程整理得，由分式有增根，则，得到或，分两种情况分别求解即可；
（3）由（2）可知，，分和两种情况分别求解即可.
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得；
（2），
两边都乘以得，
，
整理得，，
由分式有增根，则，
∴或，
把代入，a的值不存在，
把代入，解得，
综上可知，；
（3）由（2）可知，，
当时，方程无解，即，
当时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知，
综上可知，或．
【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
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