泰州市名校2023-2024学年高三上学期期初调研考试
数学学科试卷
（ 时间： 120分钟 满分： 150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数， 则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2S3，3S5，4S6成等差数列，则数列{an}的公比q＝（　　）
A．1或 B．﹣1或 C． D．
4.若双曲线的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 3 D.
5. 向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，下列结论正确的是（　　）
A．的最小值为9 B．a2+b2的最小值为
C．log2a+log2b的最小值为﹣3 D．2a+4b的最小值为2
10. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（ ）
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂
男生 80 20
女生 70 30
参考公式及数据：①，.②当时，.
A. 从这200名学生中任选1人，已知选到是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为
B. 用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为
C. 根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D. 对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85
11.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，以下结论正确的有（ ）
A.
B. 点到平面的距离为定值
C. 三棱锥体积是正方体体积的
D. 异面直线，所成的角为定值
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知“”是假命题,则实数的取值范围为______．
14．数据的百分位数是__________.
15.已知随机变量，其中，
则___________.
16．定义在实数集上的偶函数满足，则　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角A，B，C的对边分别为，
(1)求B；
(2)若，的面积为，求的周长.
18．已知等差数列和等比数列满足，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
19．如图1，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是AB边的中点，现把△ACP沿CP折成如图2所示的三棱锥A﹣BCP，使得AB＝．
（1）求证：平面ACP⊥平面BCP；
（2）求二面角B﹣AC﹣P的余弦值．
20. 现有甲、乙、丙、丁等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D 4个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候．
（1）求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；
（2）设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望．
21已知椭圆的左右顶点为、，直线.已知为坐标原点，圆过点、交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.
（1）记直线，的斜率分别为、，求的值；
（2）证明:直线过定点，并求该定点坐标.
22.已知函数，既存在极大值，又存在极小值.
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，，分别为的极大值点和极小值点.且，求实数的取值范围.泰州市名校2023-2024学年高三上学期期初调研考试
数学学科试卷参考答案
（ 时间： 120分钟 满分： 150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：又∴
故选：C
2．已知复数， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为
则，所以
故选:B.
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2S3，3S5，4S6成等差数列，则数列{an}的公比q＝（　　）
A．1或 B．﹣1或 C． D．
【答案】A
【详解】∵2S3，3S5，4S6成等差数列，∴6S5＝2S3+4S6，
即6（a1+a2+a3+a4+a5）＝2（a1+a2+a3）+4（a1+a2+a3+a4+a5+a6），
整理得6a4+6a5＝4a4+4a5+4a6，即4a6﹣2a5﹣2a4＝0，
∵a4≠0，∴2q2﹣q﹣1＝0，解得q＝1或，
故选：A．
4.若双曲线的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
5. 向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解：由题意可知，把点绕点A逆时针方向旋转，得到点，
设，则，
所以，解得，，所以点的坐标为，
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解：因为，所以，又，
所以，所以
故选：C
7.已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，，得，
由，又，得，
观察图象知，，解得，则，
因此，，所以．
故选：C
8．若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，则有，令函数，画出其图象，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，且，，即可求解．
【详解】解：由关于的方程，
令，则有，
令函数，则，
当时，当时，
在上单调递增，在上单调递减，
其图象如下：
要使关于的方程有3个不相等的实数解，，，
且，
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，，由韦达定理知，，，
，
又，
可得，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是通过换元，将较复杂的方程转化为一元二次方程，再利用导数工具说明函数的单调性.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，下列结论正确的是（　　）
A．的最小值为9 B．a2+b2的最小值为
C．log2a+log2b的最小值为﹣3 D．2a+4b的最小值为2
【答案】A D
【详解】因为a＞0，b＞0，a+2b＝1，
所以＝（）（a+2b）＝5+＝9，
当且仅当a＝b时取等号，取得最小值9，A正确；
a2+b2＝b2+（1﹣2b）2＝5b2﹣4b+1＝5（b﹣）2+，
根据二次函数的性质可知，当b＝时，上式取得最小值，B错误；
因为1＝a+2b，当且仅当a＝2b＝，即a＝时取等号，所以ab，
log2a+log2b＝log2ab≤﹣3，即最大值﹣3，C错误；
2a+4b＝2，当且仅当a＝2b＝，即a＝时取等号，此时2a+4b取得最小值2，D正确．
故选：AD．
10. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（ ）
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂
男生 80 20
女生 70 30
参考公式及数据：①，.②当时，.
A. 从这200名学生中任选1人，已知选到是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为
B. 用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为
C. 根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D. 对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85
【答案】BC
【详解】对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率，故A错误；
对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率，从全校学生中任选3人，
恰有2人不喜欢天宫课堂的概率，故B正确；
对于C：因为，
所以根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确；
对于D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为、，
又男生平均成绩为，女生的平均成绩为，所以参加测试的学生成绩的均值为，故D错误；
故选：BC
11.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，以下结论正确的有（ ）
A.
B. 点到平面的距离为定值
C. 三棱锥体积是正方体体积的
D. 异面直线，所成的角为定值
【答案】ABC
【详解】解：对于，根据题意，，，且，所以平面，而平面，所以，所以正确；
对于，到平面的距离是定值，所以点到的距离为定值，所以正确；
对于，三棱锥的体积为，三棱锥的体积是正方体体积的，所以正确；
对于，当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是，当在的中点时，F在的位置，异面直线AE，BF所成的角是，显然两个角不相等，命题错误；
故选：．
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】由题意，，得 ，
，，∴，∴，A对；
，令，即有，
令，在上递减，在上递增，
因为 ，∴，
作出函数以及 大致图象如图：
则，∴，结合图象则，
∴，∴，B对；
结合以上分析以及图象可得，∴，且 ，
∴，C对；
由C的分析可知，，
在区间 上，函数 不是单调函数，即不成立，即不成立，故D错误；
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知“”是假命题,则实数的取值范围为______．
【答案】m<2
14．数据的百分位数是__________.
【答案】
【解析】，共个数据，.
第个数据分别为，.
15.已知随机变量，其中，
则___________.
【答案】0.2
【详解】因为，所以，
因为，所以，又因为，所以，
因为，所以，且，
又因为，所以，所以.
故答案为：0.2.
16．定义在实数集上的偶函数满足，则　　．
【答案】
【详解】根据题意，因为，所以，
即，即，
令，则，即，①
则有，②联立①②可得：，
故函数是周期为4的周期函数，所以（1），
又因为是偶函数，则为偶函数，
又因为（1），所以（1），即，
解得，
又，
即，即；
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角A，B，C的对边分别为，
(1)求B；
(2)若，的面积为，求的周长.
【解答】（1）∵，
∴∴，
∴
由正弦定理可得： （此行不写扣1分）， …………………………2分
∵， （此行不写扣1分）
∴，∴， …………………………4分
∵ （此行不写扣1分）
∴ …………………………5分
（2）∵的面积为，∴，得，
∵，∴，
∵， （此行不写或者负值不舍扣1分，）
∴，∴，…………………………7分
由余弦定理可得，
∵， （此行不写或者负值不舍和上面的合计扣1分，）
∴， …………………………9分
∴三角形的周长为 …………………………10分
18．已知等差数列和等比数列满足，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【解答】（1）设公差为，公比为， （此行不写扣1分）
由。。。。。。。。
得：， …………………………2分
解得：，， …………………………3分
， …………………………4分
. …………………………5分
（2）， …………………………6分
， …………………………8分
………………………10分
. …………………………12分
19．如图1，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是AB边的中点，现把△ACP沿CP折成如图2所示的三棱锥A﹣BCP，使得AB＝．
（1）求证：平面ACP⊥平面BCP；
（2）求二面角B﹣AC﹣P的余弦值．
【解答】证明：（1）在图1中作AO⊥CP，交CP于O，连接OB，…………………1分
∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是AB边的中点，
∴BC＝2，AB＝4，AP＝AB＝2，CP＝AB＝2，
∴△ACP是等边三角形，
∴AO＝，OC＝CP＝1，AO⊥CP．
在△OBC中，由余弦定理得OB2＝12+（2）2﹣2×cos30°＝7，
在图2中，∵AB＝，∴AO2+OB2＝AB2，∴AO⊥OB．…………………………4分
又CP 平面BCP，BC 平面BCP，CP∩BC＝C，∴AO⊥平面BCP，又AO 平面ACP，
∴平面ACP⊥平面BCP． …………………………6分
（2）以O为原点，以OC、OE、OA为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：
则A（0，0，），C（1，0，0），E（0，，0），
∴＝（1，0，﹣），＝（0，，﹣）， …………………………8分
设平面ABC的法向量为＝（x，y，z），则，
∴，令z＝1得＝（，3，1）， …………………………9分
∵OE⊥平面ACP，∴＝（0，1，0）为平面ACP的一个法向量，
∴cos＜＞＝＝＝． …………………………11分
由图可知二面角B﹣AC﹣P为锐角，
∴二面角B﹣AC﹣P的余弦值为． …………………………12分
20. 现有甲、乙、丙、丁等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D 4个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候．
（1）求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；
（2）设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望．
【解答】（1）总数为， …………………………2分
其中甲乙排在一起的情况为：， …………………………4分
故甲、乙两人在不同窗口等候的概率为； …………………………5分
（2）可取， …………………………6分
， …………………………7分
， …………………………8分
， …………………………10分
所以. …………………………12分
21已知椭圆的左右顶点为、，直线.已知为坐标原点，圆过点、交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.
（1）记直线，的斜率分别为、，求的值；
（2）证明:直线过定点，并求该定点坐标.
【解答】（1）
如图，由题意知，圆G的圆心G在直线，设，
则半径为，标准方程为， …………………………1分
设，由，得，
，消去，得， …………………………3分
则，所以； …………………………5分
（2）设，由(1)知，，得，
所以，即，
，即，
，消去，得，
则，得，
所以，得. …………………………7分
同理可得，即，…………………………8分
又，，
由椭圆的对称性知，直线过定点，且该定点为轴上的点，…………………………9分
设定点为，则，
，
，
令，
解得或(舍去) …………………………11分
此时，所以与共线，
所以直线过定点. …………………………12分
22.已知函数，既存在极大值，又存在极小值.
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，，分别为的极大值点和极小值点.且，求实数的取值范围.
【解析】（1）由得，
即， …………………………1分
由题意，若存在极大值和极小值，
则必有两个不相等的实数根， …………………………2分
由得，所以必有一个非零实数根， …………………………3分
∴，，∴且，∴或.
综上，实数的取值范围为. …………………………5分
（2）当时，由（1）可知的极大值点为，极小值点为，
此时，，
依题意得对任意恒成立，
由于此时，所以； …………………………7分
所以，即，
设，，则
，
令，判别式. …………………………8分
当时，，所以，在单调递增，
所以，即，符合题意；…………………………10分
②当时，，设的两根为，，且，
则，，因此，
则当时，，在单调递减，
所以当时，，即，
所以，矛盾，不合题意；
综上，的取值范围是. …………………………12分
（如果用到其他解法按步给分；如果用到洛必达法则酌情扣分）