河北省2022~2023学年高二(下)第二次月考(23-392B)数学试卷 答案(更新中)

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河北省2022~2023学年高二(下)第二次月考(23-392B)数学试卷答案

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17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a+1）^{x}-1，x≤1}\\{1+lo{g}_{a}x，x＞1}\end{array}\right.$，（a＞0且a≠1）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）的一个零点为2，求实数a．

分析（1）由题意，设函数为f（x）=a（x+1）（x-3，利用f（0）=3，即可求y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[t，t+2]，分类讨论求出最大值，即可将y=f（x）的最大值表示成关于t的函数g（t）．

解答解：（1）由题可设f（x）=a（x+1）（x-3），
又f（0）=3，得a=-1，
得f（x）=-x²+2x+3
（2）由（1）知，y=f（x）的对称轴为x₀=1，
若t≥1，则y=f（x）在[t，t+2]上是减函数，${y_{max}}=f（t）=-{t^2}+2t+3$，
若t+2≤1，即t≤-1，则y=f（x）在[t，t+2]上是增函数，${y_{max}}=f（t+2）=-{t^2}-2t+3$，
若t＜1＜t+2，即-1≤t≤1，则y_max=f（1）=4，
故$g（t）=\left\{\begin{array}{l}-{t^2}-2t+3（t≤-1）\\4，（-1＜t＜1）\\-{t^2}+2t+3（t≥1）\end{array}\right.$．

点评本题考查待定系数法，考查函数的最大值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

河北省2022~2023学年高二(下)第二次月考(23-392B)数学