紫阳中学2022~2023学年高二第二学期期中考试(3398B)数学试卷 答案(更新中)

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紫阳中学2022~2023学年高二第二学期期中考试(3398B)数学试卷答案

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18．在平面直角坐标系中，定义$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={y}_{n}-{x}_{n}}\\{{y}_{n+1}={y}_{n}+{x}_{n}}\end{array}\right.$（n∈N^*为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）是经过点变换得到的一列点．设a_n=|P_nP_n+1|，数列{a_n}的前n项和为S_n，那么$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$的值为=2+$\sqrt{2}$．

分析（1）求导数，利用函数f（x）=x²-a1nx和g（x）=x-a$\sqrt{x}$在x=1处的切线平行，求出a，即可求函数f（x）和g（x）的单调增区间；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），则h（x）在（1，3）上单调递增，即可证明：lnb+$\sqrt{b}$＜2b．

解答（1）解：∵f（x）=x²-a1nx，∴f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$，∴f′（1）=2-a．
∵g（x）=x-a$\sqrt{x}$，∴g′（x）=1-$\frac{a}{2\sqrt{x}}$，∴g′（1）=1-$\frac{a}{2}$，
∵函数f（x）=x²-a1nx和g（x）=x-a$\sqrt{x}$在x=1处的切线平行．
∴2-a=1-$\frac{a}{2}$，
∴a=2，
∴f′（x）=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$＞0，单调增区间为（1，+∞）；
g′（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$＞0，单调增区间为（1，+∞）；
（2）证明：设h（x）=f（x）+g（x），则h（x）在（1，3）上单调递增，
∴h（1）＜h（b）＜h（3），
∴b²+b-2lnb-2$\sqrt{b}$＞0，
∴2lnb+2$\sqrt{b}$＜b²+b＜4b，
∴lnb+$\sqrt{b}$＜2b．

点评本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，属于中档题．

紫阳中学2022~2023学年高二第二学期期中考试(3398B)数学