丹东市2023届高三总复习质量测试(一)数学试卷 答案(更新中)

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丹东市2023届高三总复习质量测试(一)数学试卷答案

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15．已知椭圆E：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}$=1（a＞b＞0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点A（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）若椭圆E的任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上．

分析（Ⅰ）根据题意可得f（n）=-2n²+40n-72，令f（n）＞0，可得满足条件的n值．
（Ⅱ）$\frac{f（n）}{n}$=40-2（n+$\frac{36}{n}$）利用基本不等式，可得最大值及最大值点．

解答解：由题意知f（n）=50n-[12n+$\frac{n（n-1）}{2}$×4]-72=-2n²+40n-72，…（3分）
（Ⅰ）由f（n）＞0即-2n²+40n-72＞0得：2＜n＜18…（7分）
由n∈N^*知，从第三年开始盈利…（8分）
（Ⅱ）年平均纯利润$\frac{f（n）}{n}$=40-2（n+$\frac{36}{n}$），
当且仅当n=6时等号成立．…（11分）
故共获利6×16+48=144（万元），…（13分）
答：需6年后其年平均纯利润才可达到最大，共获利144（万元）…（14分）

点评本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，基本不等式的应用，难度中档．

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