2022-2023湖北省高二3月联考(23-346B)数学试卷 答案(更新中)

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2022-2023湖北省高二3月联考(23-346B)数学试卷答案

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3．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$，t为参数，0≤α＜π；射线θ=φ，θ=φ+$\frac{π}{4}$，θ=φ-$\frac{π}{4}$，θ=φ+$\frac{π}{2}$与曲线C₁分别交异于极点O的四点A，B，C，D．
（1）若曲线C₁关于曲线C₂对称，求α的值，并把曲线C₁和C₂化成直角坐标方程；
（2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

分析利用三角恒等变换化简函数f（x），根据三角函数的单调性求出函数f（x）的递增区间，
再根据三角函数的图象与性质求出f（x）在x∈[0，$\frac{7π}{24}$]的值域．

解答解：函数f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）•cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\sqrt{2}$（sinxcosx+cos²x）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\sqrt{2}$（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（1分）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{4}$）；…（2分）
（1）当-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z时，函数f（x）单调递增，…（4分）
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的递增区间为[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z；…（6分）
（2）当x∈[0，$\frac{7π}{24}$]时，2x∈[0，$\frac{7π}{12}$]，
2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；…（8分）
∴f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]，…（10分）
即函数f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]．   …（12分）

点评本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．

2022-2023湖北省高二3月联考(23-346B)数学