2023广东广州一模数学试卷 答案(更新中)

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2023广东广州一模数学试卷答案

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12．已知函数$f（x）=（x-1）（ax-b），f（2-x）=f（2+x），g（x）={log_{\frac{b}{a}}}（{x^2}-4x+13）$，则函数g（x）的最小值为（　　）

分析根据绝对值的性质把函数表示为分段函数形式，结合一元二次函数的图象和性质进行讨论即可．

解答解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-a），}&{x≥a}\\{x（a-x），}&{x＜a}\end{array}\right.$，
若a≤0，则f（x）对应的图象为（1），此时函数在0≤x≤1上为增函数，则此时的最大值为f（x）_max=g（a）=g（1）=|1-a|=1-a，
当0＜a＜1时，f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{a}{2}$•|$\frac{a}{2}$-a|=$\frac{a}{2}$•|$\frac{a}{2}$|=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（1）=1-a，
则f（$\frac{a}{2}$）-f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a-1=$\frac{{a}^{2}+4a-4}{4}$，
①当a²+4a-4＞0时，解得a＞-2+2$\sqrt{2}$或a＜-2-2$\sqrt{2}$，
即-2+2$\sqrt{2}$＜a＜1时，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）＞0，
则f（$\frac{a}{2}$）＞f（1），此时最大值为值g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
②当a²+4a-4=0时，解得a=-2+2$\sqrt{2}$或a=-2-2$\sqrt{2}$（舍），
即a=-2+2$\sqrt{2}$时，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）=0，
则f（$\frac{a}{2}$）=f（1），此时最大值为值g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$=1-a；
③当a²+4a-4＜0时，解得-2-2$\sqrt{2}$＜a＜-2+2$\sqrt{2}$，
即0＜a＜-2+2$\sqrt{2}$时，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）＜0，
则f（$\frac{a}{2}$）＜f（1），此时最大值为值g（a）=f（1）=1-a．

点评本题主要考查函数的最值的求解，利用绝对值的性质将不等式转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

2023广东广州一模数学