山东省聊城市2024届高二第一学期期末教学质量抽测数学试卷 答案(更新中)

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山东省聊城市2024届高二第一学期期末教学质量抽测数学试卷答案

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16．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．
（1）求椭圆的方程；　　　　
（2）若直线l：y=kx+3与椭圆恒有不同交点A、B，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞1（O为坐标原点），求k的取值范围．

分析化简得f（x）=$\sqrt{3+{a}^{2}}$sin（x-θ），由对称轴得f（$\frac{5π}{3}$）=±$\sqrt{3+{a}^{2}}$求出a，代入g（x）化简可得答案．

解答解：f（x）=$\sqrt{3}$sinx-acosx=$\sqrt{3+{a}^{2}}$sin（x-θ），（θ为辅助角），
∵x=$\frac{5π}{3}$是f（x）的一条对称轴，
∴$\sqrt{3}$sin$\frac{5π}{3}$-acos$\frac{5π}{3}$=±$\sqrt{3+{a}^{2}}$，即-$\frac{3}{2}$-$\frac{a}{2}$=±$\sqrt{3+{a}^{2}}$，
化简得a²-2a+1=0，解得a=1，
∴g（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴g（x）的初相为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评本题考查函数的对称性，考查辅助角公式和两角和差的正弦及余弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．

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