2023年全国高考·冲刺押题卷(六)6数学试卷 答案(更新中)

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2023年全国高考·冲刺押题卷(六)6数学试卷答案

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14．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左、右焦点分别是F₁，F₂，过点F₁的直线l交椭圆C于E，G两点，且△EGF₂的周长为$4\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于不同两点A，B，且A，B两点都在y轴的右侧，设P为椭圆上一点，且满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}（O$为坐标原点），求实数t的取值范围．

分析（1）求出函数的导数，利用函数的极值点，列出方程组，求解a，b即可．
（2）利用函数的极值点，结合导函数的符号，推出函数的单调区间即可．

解答解：（1）由已知函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8，
可得f′（x）=6x²+6ax+3b
因为f（x）在x=1及x=2处取得极值，所以1和2是方程f′（x）=6x²+6ax+3b=0的两根，
故$\left\{\begin{array}{l}6+6a+3b=0\\24+12a+3b=0\end{array}\right.$
解得：a=-3、b=4．
（2）由（1）可得f（x）=2x³-9x²+12x+8，
可得 f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）
当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是增加的；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）是减少的．
所以，f（x）的单调增区间为（-∞，1）和（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）．

点评本题考查导函数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．

2023年全国高考·冲刺押题卷(六)6数学