山西省2022-2023学年第一学期期末调研抽监（C）数学试卷 答案(更新中)

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山西省2022-2023学年第一学期期末调研抽监（C）数学试卷答案

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2．在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为$\sqrt{3}$的圆柱．
（1）求：圆柱表面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．

分析（1）由sin²α+cos²α=1，能求出曲线C的直角坐标方程；由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线l的直角坐标方程．
（2）曲线C是圆心C（0，0），半径r=2的圆，求出圆心C（0，0）到直线l的距离得到直线l与圆C相切，由此能求出直线l与圆C相切得满足这样条件的点P的个数．

解答解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosa}\\{y=2sina}\end{array}\right.$（a为参数）．
∴由sin²α+cos²α=1，
得到曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4．
∵直线l的极坐标方程为ρcos（$θ-\frac{π}{6}$）=2，
∴$ρcosθcos\frac{π}{6}+ρsinθsin\frac{π}{6}$=2，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ+\frac{1}{2}ρsinθ=2$，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x+y-4=0$．
（2）∵曲线C：x²+y²=4是圆心C（0，0），半径r=2的圆．
圆心C（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{3+1}}$=2=r，
∴直线l与圆C相切，
∵点P在曲线C上，且点P到直线1的距离为1．
∴由直线l与圆C相切得满足这样条件的点P的个数为2个．

点评本题考查曲线和直线的直角坐标方程的求法，考查满足条件的点的个数的求法，是基础题，解题时要注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程互化公式的合理运用，注意点到直线的距离公式的合理运用．

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