【济宁一模】济宁市2023年高考模拟考试数学试卷 答案(更新中)

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【济宁一模】济宁市2023年高考模拟考试数学试卷答案

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1．一家饭店有客房150间，每间每天住宿费100元时，客房全满，饭店要提高客房档次，提高住宿费增加收人，如果住宿费每间每天每增加20元，客房出租数就会减少10间，不考虑其他因素，饭店客房每间每天住宿费为多少元时，饭店的每天收入最高？

分析（1）由根的判别式得16sin²θ=4a•$\frac{sinθ}{cosθ}$，从而a=4sinθcosθ=2sin2θ，由此能求出实数a的取值范围．
（2）a=$\frac{7}{4}$时，sin2θ=$\frac{a}{2}$=$\frac{7}{8}$，由正弦加法公式及同角三角函数关系式能求出sin（$\frac{π}{4}+θ$）．

解答解：（1）∵关于x的方程x²+4xsinθ+atanθ=0（$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$）有两个相等的实数根，
∴△=16sin²θ-4atanθ=0，
∴16sin²θ=4a•$\frac{sinθ}{cosθ}$，∴a=4sinθcosθ=2sin2θ，
∵$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜2θ＜\frac{2π}{3}$，
∴1＜2sin2θ＜2．
∴实数a的取值范围是（1，2）．
（2）a=$\frac{7}{4}$时，sin2θ=$\frac{a}{2}$=$\frac{7}{8}$，
sin（$\frac{π}{4}+θ$）=sin$\frac{π}{4}$cosθ+cos$\frac{π}{4}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}（sinθ+cosθ）$，
∴$si{n}^{2}（\frac{π}{4}+θ）=\frac{1}{2}（1+2sinθ）$=$\frac{1}{2}×（1+\frac{7}{8}）$=$\frac{15}{16}$，
∵$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}＜\frac{π}{4}+θ＜\frac{7π}{12}$，
∴sin（$\frac{π}{4}+θ$）=$\sqrt{\frac{15}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评本题考查实数的取值范围的求法，考查正弦函数值的求法，是中档题，解题时要注意根的判别式、正弦加法公式及同角三角函数关系式的合理运用．

【济宁一模】济宁市2023年高考模拟考试数学