[安庆一模]安徽省2023年安庆市高考模拟试题(一模)数学试卷 答案(更新中)

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[安庆一模]安徽省2023年安庆市高考模拟试题(一模)数学试卷答案

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3．已知函数$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}，（x∈R）$．
（Ⅰ）判定函数f（x）在区间[-1，1]上的单调性，并用定义法加以证明；
（Ⅱ）对于任意n个实数a₁，a₂，…，a_n（可以相等），求满足|f（a₁）|+|f（a₂）|+…+|f（a_n）|≥50成立的正整数n的最小值；
（Ⅲ）设函数${g_n}（x）=f（x）-f{（{n^2}）_{\;}}（n∈{N^*}）$在区间[0，1]上的零点为x=x_n，试探究是否存在正整数n，使得x₁+x₂+…+x_n≥2？若存在，求正整数n的最小值；若不存在，请说明理由．

分析（1）f（x）=cos2x$+\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，结合正弦函数的单调性求出f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（A）=2解出A，代入面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA解出c，利用余弦定理求出a．

解答解：（1）f（x）=cos2x$+\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）取得最小值0，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值3，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域是[0，3]．
（2）∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=2．
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bc•cosA}$=$\sqrt{3}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换与性质，解三角形，对f（x）进行降次化简是关键．

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