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河南省驻马店市2022~2023学年度高一第二学期期终考试数学试卷答案
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3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），A1，A2是双曲线实轴的两个端点，MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点，则A1M与A2N交点的轨迹方程是（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 | B． | $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 | D． | $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1 |
分析（1）令t=2x（1≤t≤4），则g（t）=$\frac{1}{2}$t2-2t-1=$\frac{1}{2}$（t-2）2-3，讨论对称轴t=2与区间[1，4]的关系，可得最值；
（2）由题意可得m＜$\frac{{4}^{x-\frac{1}{2}}-1}{{2}^{x}}$在x∈[0，2]恒成立，令t=2x（1≤t≤4），即有m＜$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{t}$的最小值，由单调性，可得最小值，进而得到m的范围．
解答解：（1）f（x）=${4}^{x-\frac{1}{2}}$-2•2x-1（0≤x≤2），
令t=2x（1≤t≤4），则g（t）=$\frac{1}{2}$t2-2t-1=$\frac{1}{2}$（t-2）2-3，
当t=2即x=1时，取得最小值，且为-3；
当t=4即x=2时，取得最大值，且为-1；
（2）f（x）＞0对任意x∈[0，2]恒成立，即为
m＜$\frac{{4}^{x-\frac{1}{2}}-1}{{2}^{x}}$在x∈[0，2]恒成立，
令t=2x（1≤t≤4），即有m＜$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{t}$的最小值，
由$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{t}$在[1，4]递增，可得t=1时，取得最小值-$\frac{1}{2}$，
则m＜-$\frac{1}{2}$，即m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）．
点评本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查二次函数的最值求法，同时考查不等式恒成立问题的解法．属于中档题．
河南省驻马店市2022~2023学年度高一第二学期期终考试数学