湖北省2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(三)数学试卷 答案(更新中)

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湖北省2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(三)数学试卷答案

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10．已知函数f（x）=ax²-2ax+b（a＞0）在区间[-1，4]上有最大值10和最小值1．设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$．
（1）求a、b的值；
（2）证明：函数g（x）在[$\sqrt{b}$，+∞）上是增函数；
（3）若不等式g（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

分析由已知向量的坐标求出$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的坐标，结合$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）求得k值，进一步代入投影公式得答案．

解答解：∵$\overrightarrow{a}$=（1，k），$\overrightarrow{b}$=（0，2），
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（1，k-2），
由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
即k²-2k+1=0，解得：k=1．
∴$\overrightarrow{a}$=（1，1），
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{2}{2}=1$．
故答案为：1．

点评本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．

湖北省2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(三)数学