尚文原创·2023届云南名校月考试卷(八)数学试卷 答案(更新中)

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尚文原创·2023届云南名校月考试卷(八)数学试卷答案

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12．已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）
（1）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0的根的个数；
（2）若a＞0，且对任意的x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{2}$]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，求实数a的取值范围．

分析方法一：将零点代入，先求参数，再求f（1）；
方法二：根据根与系数关系，得x=1是函数的零点，再求f（1）．

解答解：方法一
∵该函数有一个零点为$\frac{3}{2}$，
代入函数得，$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{2}$a+3=0，
解得，a=5，所以，f（x）=2x²-5x+3，
因此，f（1）=0．
方法二
根据根与系数的关系，
x₁x₂=$\frac{3}{2}$且x₁=$\frac{3}{2}$，所以x₂=1，
所以，f（1）=f（x₂）=0，
故答案为：0．

点评本题主要考查了函数的零点，涉及函数值的求解，一元二次方程根与系数关系的应用，属于基础题．

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