［卓育云］2022-2023中考学科素养自主测评卷（七）数学试卷 答案(更新中)

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［卓育云］2022-2023中考学科素养自主测评卷（七）数学试卷答案

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1．O为坐标原点，直线l与圆x²+y²=2相切．
（1）若直线l分别与x、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及面积取得最小值时的直线l的方程．
（2）设直线l交椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于P、Q两点，M为PQ的中点，求|OM|的取值范围．

分析（1）由题意可得a²+b²=4，代入点（-3，2$\sqrt{6}$），得到a，b的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）运用双曲线的定义，结合条件，可得|PF₁|+|PF₂|=6，再由三角形的周长，计算即可得到所求．

解答解：（1）由题意可得c=2，a²+b²=4，
代入点（-3，2$\sqrt{6}$），可得$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{24}{{b}^{2}}$=1，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
即有双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）又双曲线的定义可得，||PF₁|-|PF₂||=2a=2，
又|PF₁|•|PF₂|=8，
可得（|PF₁|+|PF₂|）²=（|PF₁|-|PF₂|）²+4|PF₁|•|PF₂|
=4+32=36，
即有|PF₁|+|PF₂|=6，
则△PF₁F₂的周长为|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=6+4=10．

点评本题考查双曲线的方程的求法，注意运用代入法，考查三角形的周长的求法，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．

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