2022-2023学年山东省济宁市金乡县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，正确的是( )
A. B. C. D.
2. 中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是( )
A. B. ：：：：
C. D. ：：：：
3. 某班在学校的合唱比赛中，七个评委给出的得分依次为，，，，，，，则这组数据的众数与中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4. 若关于的一元二次方程为的解是，则的值是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点连接，，，且，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
7. 若代数式在实数范围内有意义，则一次函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
8. 如图，菱形的边长为，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
9. 已知，，分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是，则的值是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；错误的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 小明参加演讲比赛，他的演讲形象，内容，效果三项分别是分，分，分，若将三项得分依次按：：的比例确定成绩，则小明的最终比赛成绩为______ 分
12. 如图，，，，，，则四边形的面积为______．
13. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：______．
14. 元朝朱世杰的算学启蒙一sj 载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程关于行走时间的函数图象，则两图象交点的坐标是______．
15. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、若，，则下列结论：
垂直平分；
≌；
；
：：．
其中正确的结论是填写序号 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
解方程．
17. 本小题分
为了解我校学生每天的睡眠时间单位：小时，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图若我校共有名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
本次接受调查的学生人数为______ 人，扇形统计图中的 ______ ；
请补全条形统计图；
求所调查的学生每天睡眠时间的方差；
若睡眠时间超过小时及以上在白天才能达到良好的学习效果，估计我校学生每天睡眠时间不足的人数．
18. 本小题分
如图，在 中，过点作于点，点在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
已知，是的平分线，若，求的长度．
19. 本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数都是常数，且的图象经过点和．
当时，的取值范围．
已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标．
20. 本小题分
为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建，两类展位供当地的农产品展览和销售个类展位的占地面积比个类展位的占地面积多平方米；个类展位和个类展位的占地面积共平方米建类展位每平方米的费用为元，建类展位每平方米的费用为元．
求每个，类展位占地面积各为多少平方米；
该村拟建，两类展位共个，且类展位的数量不大于类展位数量的倍，求建造这个展位的最小费用．
21. 本小题分
阅读理解我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
问题解决：
判断图中的中点四边形的形状，并说明理由；
当图中的四边形的对角线添加条件______时，这个中点四边形是矩形；四边形的对角线添加条件______时，这个中点四边形是菱形．
拓展延伸：
如图，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点在轴正半轴上，对角线交轴于点，边交轴于点动点从点出发，以个单位长度秒的速度沿折线向终点运动．
点的坐标为______ ；点的坐标为______ ；
求的长；
设动点的运动时间为秒，连接、，的面积为，请用含的式子表示，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
选项的结论不正确；
，
选项的结论正确；
，
选项的结论不正确；
，
选项的结论不正确，
故选：．
利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质对每个选项进行判断是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，又，则，是直角三角形；
B、：：：：，又，则，是直角三角形；
C、由，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、，设，，，，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：．
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】
【解析】解：将数据重新排列为、、、、、、，
所以这组数据的众数为，中位数为，
故选：．
根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
4.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5.【答案】
【解析】解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：观察图象可知，当时，直线落在直线的下方，
所以不等式的解集为．
故选：．
直线落在直线的下方对应的的取值范围即为所求．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：代数式在实数范围内有意义，
，
解得，
，
一次函数的图象过一、二、四象限．
故选：．
先求出的取值范围，再判断出及的符号，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连结．
的长度固定，
要使的周长最小，只需要的长度最小即可，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
，
的最小长度为的长，
菱形的边长为，为的中点，，
是等边三角形，
又菱形的边长为，
，，，
的最小周长，
故选：．
连接因为的长度固定，所以要使的周长最小，只需要的长度最小即可．
本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：点在“勾股一次函数”的图象上，
，即，
又，，分别是的三条边长，，的面积是，
，即，
又，
，
即，
解得，
故选：．
依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
由，得出，故正确；再由证得≌，得，同理≌，得，则四边形是平行四边形，故正确；然后由平行四边形的性质得，则正确；最后求出，故错误；即可得出答案．
【解答】
解：，，，，
，
是直角三角形，，
，故正确；
，都是等边三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，
同理可证：≌，
，
四边形是平行四边形，故正确；
，故正确；
过作于，如图所示：
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故错误；
错误的个数是个，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得：
分．
故小明的最终比赛成绩为分．
故答案为：．
利用加权平均数的计算方法可求出结果．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：连接，
，，，
，
，，
，
，
四边形的面积
，
故答案为：．
连接，根据勾股定理求出长，根据勾股定理的逆定理求出，再根据三角形的面积公式救出答案即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
13.【答案】
【解析】解：由题可得，，，
，，，
，
故答案为：．
依据数轴即可得到，，，即可化简．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意可以得到关于的方程，从而可以求得点的坐标，本题得以解决．
【解答】
解：令，
解得，，
则，
点的坐标为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：在矩形中，，，
为的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
垂直平分，
故符合题意；
在和中，
，
≌，
，，
在等边中，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
平分，
，，
垂直平分，
如图，连接，
在矩形中，为的中点，
，，三点在同一直线上，
在线段的垂直平分线上，
，
，
是等边三角形，
，
故符合题意；
，
不全等于，
故不符合题意；
在和中，
，
≌，
，
垂直平分，
，
设，
，，
，
，，
，
，
，，
：：：，
：：，
故符合题意，
综上所述，正确的结论有，
故答案为：．
根据矩形的性质可得，，，再根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据，即可判断选项；先证明≌，根据全等三角形的性质可得，，根据等边三角形的性质进一步可知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可知是等边三角形，即可判断选项；根据，即可判断选项；先证明≌，可知，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据，，可得：：：，进一步即可判断选项．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
16.【答案】解：原式
；
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
【解析】原式各项化简，括号中合并后利用二次根式乘法法则计算即可求出值；
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：人，
，即，
故答案为：，；
样本中睡眠时间为的学生人数为：人，
补全条形统计图如下：
样本平均数为：，
所以方差为：
，
答：方差为；
名，
答：全校名学生中，睡眠时间不足，即每天睡眠时间不足的大约有名．
由两个统计图可得样本中睡眠时间为的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数，进而求出睡眠时间为所占的百分比，得出的值；
求出睡眠时间为的学生人数，即可补全条形统计图；
根据方差的计算公式进行计算即可；
用样本中的“睡眠时间不足”的学生所占的百分比去估计全校名学生“睡眠时间不足”所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图、方差、平均数以及频数分布直方图，掌握频率以及方差的计算方法是正确解答的前提．
18.【答案】解：证明：四边形是平行四边形
，
且
四边形是平行四边形
又
四边形是矩形．
，，
，
四边形是矩形
平分
，且
．
【解析】本题考查了矩形判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
由题意可证是平行四边形，且，可得结论
根据勾股定理可求的长度，则可得的长度，即可求的长度．
19.【答案】解：一次函数都是常数，且的图象经过点和，
，
解得：，
一次函数的解析式为．
当时，，
当时，．
，
随的增大而增大，
当时，．
点在该函数的图象上，且，
，
解得：，
点的坐标为．
【解析】由一次函数图象经过点的坐标，即可得出关于，的方程，解之即可得出一次函数的解析式，分别代入和，求出与之对应的值，再利用一次函数的性质即可求出当时，的取值范围．
由一次函数图象上点的坐标特征及，即可求出，的值，进而可得出点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，解题的关键是：由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出，的值；牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
20.【答案】解：设每个类展位的占地面积为平方米，则每个类展位占地面积为平方米，
依题意得：，
解得：，
平方米，
答：每个类展位占地面积为平方米，每个类展位的占地面积为平方米；
设该村拟建造类展位个，建造类展位个，所需费用为元，
则，
类展位的数量不大于类展位数量的倍，
，
解得，
，
随的增大而增大，
为整数，
当时，的值最小，最小值为元．
答：建造这个展位的最小费用为元．
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
设每个类展位的占地面积为平方米，则每个类展位占地面积为平方米，根据个类展位和个类展位的占地面积共平方米列出方程，解方程即可；
设该村拟建造类展位个，建造类展位个，所需费用为元，根据总费用两种展位费用之和列出函数解析式，再根据类展位的数量不大于类展位数量的倍，求出的取值范围，再由函数的性质求最值．
21.【答案】
【解析】解：中点四边形是平行四边形，理由如下：
连接，，
，分别是，的中点，
，，
同理，，，
，，
中点四边形是平行四边形；
当图中的四边形的对角线添加条件时，这个中点四边形是矩形；
，，
，
是矩形，
当四边形的对角线添加条件时，这个中点四边形是菱形，
，，，
，
是菱形，
故答案为：；；
四边形是菱形，证明如下：
连接与，
与为等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形．
连接，，利用三角形中位线定理可得，，，，则，，从而证明结论；
根据矩形和菱形的判定可得答案；
连接与，首先利用证明≌，得，然后由同理可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：，
，，
，
在菱形四边形中，
，
，
，；
解：过点作，交延长线于点，连接，
在菱形中，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
设，
，
，
即，
解得；
，，
，
，
当点在线段上时，，
，
当在线段上时，，
，
综上所述，或；
由点坐标勾股定理可得，根据菱形的性质可得，然后再运用线段的和差求得的长即可；
如图，再根据菱形的性质和全等三角形的判定与性质得到，根据梯形，进而求得点坐标以及、长度；
分点在线段上和线段上两种情况解答即可；
本题考查菱形和一次函数综合题，解题的关键是掌握分类讨论思想．
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