湛江第一中学2024届高三级开学考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：高考范围.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（）
A. B.2 C. D.3
3.在中，为中点，为中点，，则（）
A. B.1 C. D.-1
4.已知函数，则的增区间为（）
A. B. C. D.
5.设公差不为零的等差数列的前项和为，则（）
A.15 B.1 C.-1 D.-9
6.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（）
A. B.3 C. D.4
7.已知为钝角，，则的值为（）
A. B.-2 C. D.
8.已知函数且满足，则的最小值为（）
A. B. C.1 D.2
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.一组数据：，则（）
A.这组数据的平均数为6 B.这组数据的方差为16
C.这组数据的极差为11 D.这组数据的第70百分位数为7
10.已知函数，则（）
A.有两个零点 B.有两个极值点
C.恒成立 D.恒成立
11.已知圆与圆相交于两点，则（）
A.圆的圆心坐标为
B.当时，
C.当且时，
D.当时，的最小值为
12.《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑中，，其外接球的表面积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（）
A.
B.此鳖臑的体积的最大值为
C.直线与平面所成角的余弦值为
D.三棱锥的内切球的半径为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.二项式的展开式中含的系数为__________.
14.小张 小陈 小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为，小陈做出这道题的概率为，小胡做出这道题的概率为，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为__________.
15.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________.
16.双曲线的左，右焦点分别为，右支上有一点，满足的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）若，求的值；
（2）若，求角的大小.
18.（本小题满分12分）
已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，平面平面.
（1）证明：；
（2）若为上一点，且，求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12 分）
2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表：
课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时
200名以前 40
200名以后 40
（1）求的值；
（2）依据上表，根据小概率值的独立性检验，分析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系；
（3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为，求的分布列和数学期望.
附：参考公式：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）求证：.湛江第一中学2024届高三级开学考试 数学
参考答案 提示及评分细则
1.B由得，函数在上单调递增，则，即，
又由得，即，所以.故选B.
2.A，则.故选A.
3.C.故选C.
4.A令，又在上单调递增，的增区间为，所以的增区间为.故选A.
5.D.
.故选D.
6.A因为，所以，即，又.
7.D由得，化简得，
则.故选D.
8.B由可知：关于对称，故时，取最小值为.故选B.
9.ADA：，故A正确；
B：，故B错误；
，故C错误；
，故70百分位数是第5个数7.故D正确.故选AD.
10.BC，当且仅当时取等号，故A错误，C正确；B：，在上，为减函数，在上，，为增函数，又，有2个零点，B正确，D错误.故选BC.
11.ABD由圆的方程可知圆的圆心坐标为，即正确；
当时，圆，此时易知，所以有，解得，即B正确；
因为，且，所以，即，解得或，即C错误；
因为圆的直径为2，所以当时，为圆的直径，所以，当且仅当时，，即D正确.故选ABD.
12.BC由题可知，的中点即为的外接球的球心，设外接球的半径为，则，得，因为，所以，鳖臑的体积，当且仅当时，，故项错误，B项正确；
因为三棱柱为直三棱柱，故平面，所以直线与平面所成的角即为；故C项正确；
设鳖臑的内切球半径为，由等体积法，得，所以，故D项错误.故选BC.
13.10展开式通项公式为，令，得，
展开式中含的系数为.
14.记“这道题被做出来”为事件.
15.，即，对恒成立，当时，0，故符合题意，当时，，在上，不合题意，故.
16.内切圆分别与切于点，则四边形为正方形，故，
17.解：（1）根据余弦定理，，
解得；
（2）因为，
因此得到，则，
即，所以，因此三角形为等腰三角形，
又知道，所以.
18.解：（1）由，得，
又是以1为首项，3为公比的等比数列，
；
（2），①
①得，②
①-②得，
.
19.证明：（1）过作于，
平面平面，且平面平面，
平面，故，
在直三棱柱中，平面，故，
由可知，平面，故；
（2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，
不妨设，
则，
则，
设平面的法向量为，
则即
令，则，即，
设平面的法向量为，
则即
令，则，即，
则，
二面角的余弦值为.
20.解：（1）由题意可得高三12个班级共抽取120名，
所以，解得；
（2）利用列联表可得，
根据小概率值的独立性检验，我们认为学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关，此推断犯错误概率不大于0.001；
（3）这6人中课余学习时间超过两小时的人数为，课余学习时间不超过两小时的人数为2，
的取值为，
有；
.
故的分布列为：
1 2 3
.
21.解：（1）由题意可知，所以椭圆的方程为；
（2）由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得，
所以（当且仅当时，等号成立），
所以所求直线的方程为或.
22.（1）解：，
，
设，
在上为单调递增函数，
，当时，，
当时，时，取得最小值，；
（2）证明：，只需证，
即，令，则，
当时，令，则在上单调递增，
即在上为增函数，
又因为，
所以存在，使得，
由，
得，即，即，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
令，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以，
即