2021届高三第一次校际联考
数学（理科）试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚；
3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数（ ）
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.函数的图像恒过定点（ ）
A. B. C. D.
4.函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
5.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
6.函数在的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
7.已知是定义在上的连续函数，则在上存在零点是的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
8.设，，，则下列大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
9.已知命题若，则；命题，则下列命题为假命题的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知，，则（ ）
A. B.或 C. D.或
11.已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（ ）
A.16 B.19 C.20 D.23
12.已知定义在上的函数满足，当时，，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数的单调递增区间是________.
14.已知函数则________.
15.当时，函数的最小值为________.
16.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知，，.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）试用函数单调性定义证明：在上单调递增.
18.（本小题满分12分）
已知函数（，为实数，），且，函数的值域为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）当时，是单调函数，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知函数，.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若方程在上有实数解，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高.已知该厂每月的污水处理量最少为150万吨，最多为300万吨，月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一万吨污水产生的收益为0.3万元.
（Ⅰ）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
（Ⅱ）该厂每月能否获利？如果能获利，求出最大利润.
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，底面，底面满足，且，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.
2021届高三第一次校际联考
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.B 10.A 11.C 12.A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.或 14. 15. 16.或
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：（Ⅰ）由题意得，
解得，，
∴.…………………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）证明：设，
则，
由，得，，
∴，即，
故在上单调递增.…………………………………………………………（10分）
18.解：（Ⅰ）由，得①
∵函数的值域为，
∴，，即②
由①②得，.……………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∴，
对称轴方程为，
∵在上为单调函数，
∴或，
解得或，
故的取值范围.………………………………………………（12分）
19.解：（Ⅰ），
，
∵，∴，
∴.………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）∵函数在上单调递增，方程在上有解，
∴在区间上有解，
即有解，，
得，
∴的取值范围为.………………………………………………………………（12分）
20.解：（Ⅰ）由题意可知，每万吨污水的处理成本为：
，
当且仅当时等号成立，
故该厂每月污水处理量为200万吨时，才能使每万吨的处理成本最低.………………（6分）
（Ⅱ）设该厂每月获利为万元，则
∵，∴，
当时，有最大值22.5，
故该污水处理厂每月能获利，且当月处理量为250万吨时，利润最大，为22.5万元.………（12分）
21.解：（Ⅰ）证明：∵底面，平面，
∴，
∵，.
∴，∴，
∵，
∴平面.……………………………………………………（6分）
（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
∴直线与平面所成角的正弦值为：
.………………………………………………………………（12分）
22.解：（Ⅰ）∵抛物线的焦点为，
∴椭圆的半焦距为，
又，得，.
∴椭圆的方程为.……………………………………………………（6分）
（Ⅱ）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立，得.
，即，
设，，
则，，
∴，
∴.
∴为定值.………………………………………………………………（12分）