北师大高中数学选择性必修第一册
第三章空间向量与立体几何单元测试卷(原卷版)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量a＝，b＝，且a∥b，则t＝ (　D　)
A.10 B.－10
C.4 D.－4
2. 在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，P在线段AD上，且DP＝2PA，Q为BC的中点，则＝ (　A　)
A.－a＋b＋c
B.a＋b－c
C.a－b＋c
D.a＋b－c
3. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为 (　D　)
A. B.2
C.2 D.3
4. 设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝ (　C　)
A.2 B.3
C. D.4
5. 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为 (　A　)
A. B.
C.
6. 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段C1D1上的动点，则直线BC1与直线AP所成角余弦值的范围是 (　A　)
A. B.
C. D.
7. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，AB＝AC＝BC＝2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为 (　A　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
8. 已知四棱锥P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则点P到底面ABCD的距离为 (　D　)
A. B.
C.1 D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法错误的是 (　ABD　)
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一组基
B.空间的基有且仅有一组
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一组基
D.基{a，b，c}中基向量与基{e，f，g}基向量对应相等
10. 若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，则下列λ的值中使a，b的夹角的余弦值为的有 (　BC　)
A.2 B.－2
C. D.－
11. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则下列结论正确的是 (　AB　)
A.AC⊥BD
B.△ACD是等边三角形
C.AB与平面BCD所成的角为90°
D.AB与CD所成的角为30°
12. 一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触. 若小球上一点到这三个面的距离分别为4，5，5，则这只小球的半径可以是 (　AD　)
A.3 B.5
C.8 D.11
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为－1 .
14. 四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E， F分别为棱AB， AD的中点，则 －1 ；－1 .
15. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿对角线AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角为60°，则|BD|＝－1 .
16. 如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°. 沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是－1 .
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b (O为原点)
18. (12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.
(1)求证：直线DE∥平面ABC；
(2)求B1E与平面AB1F所成角的正弦值.
19. (12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝
∠ABC＝90°，E是PD的中点.
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.
20. (12分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
21. (12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.
22. (12分) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点.
(1)求证：C1B⊥平面ABC；
(2)求二面角A－EB1－A1的余弦值；
(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
北师大高中数学选择性必修第一册
第三章空间向量与立体几何单元测试卷(解析版)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量a＝，b＝，且a∥b，则t＝ (　D　)
A.10 B.－10
C.4 D.－4
解析：因为a＝(3，－1，2)，b＝(－6，2，t)，且a∥b，则a＝λb，即(3，－1，2)＝λ(－6，2，t)＝(－6λ，2λ，tλ)，由相等向量可知解得故选D.
2. 在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，P在线段AD上，且DP＝2PA，Q为BC的中点，则＝ (　A　)
A.－a＋b＋c
B.a＋b－c
C.a－b＋c
D.a＋b－c
解析：由DP＝2PA，则a，()＝b＋c，所以a＋b＋C.故选A.
3. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为 (　D　)
A. B.2
C.2 D.3
解析：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设P(a，b，0)，则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，B1(2，2，2)，＝(a－2，b－2，－2)，＝(1，2，－2)，∵B1P⊥D1E，∴＝a－2＋2(b－2)＋4＝0，∴a＋2b－2＝0，0≤b≤1，∴点P的轨迹是一条线段，2＝(a－2)2＋(b－2)2＋4＝(2b)2＋(b－2)2＋4＝5b2－4b＋8，由二次函数的性质可得当b＝1时，5b2－4b＋8可取到最大值9，∴线段B1P的长度的最大值为3. 故选D.
4. 设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝ (　C　)
A.2 B.3
C. D.4
解析：∵a⊥c，∴a·c＝2x－2＋2＝0，得x＝0，又∵b∥c，则，得y＝－1，∴a＝(0，1，1)，b＝(1，－1，1)，∴a＋b＝(0，1，1)＋(1，－1，1)＝(1，0，2)，∴|a＋b|＝. 故选C.
5. 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为 (　A　)
A. B.
C.
解析：以D为坐标原点，的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B1(2，2，4)，则＝(－2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，－2，0). 设平面AD1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2，2，1)，所以点B1到平面AD1C的距离d＝，故选A.
6. 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段C1D1上的动点，则直线BC1与直线AP所成角余弦值的范围是 (　A　)
A. B.
C. D.
解析：设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，1).
设P(0，t，1)(0≤t≤1)，则＝(－1，t，1)，＝(－1，0，1)，所以cos＜＞＝＝. 又因为0≤t≤1，所以≤cos＜＞≤1. 故选A.
7. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，AB＝AC＝BC＝2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为 (　A　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：取AB的中点D，连接CD，以AD所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴，以平行于BB1的直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得A(1，0，0)，A1(1，0，3)，故＝(1，0，3)－(1，0，0)＝(0，0，3)，而B1(－1，0，3)，C1(0，，3)，设平面AB1C1的一个法向量为m＝(a，b，c)，根据m·＝0，m·＝0，取c＝2，解得m＝(3，－，2)，则cos＜m，. 故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°，故选A.
8. 已知四棱锥P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则点P到底面ABCD的距离为 (　D　)
A. B.
C.1 D.2
解析：设n＝(x，y，z)是平面ABCD的一个法向量，则由题设
即令x＝1，得即n＝，由于n·＝－6＋8－，|n|＝，＝2，所以|cos＜n，，故点P到平面ABCD的距离d＝·|cos＜n，＞|＝2＝2，故选D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法错误的是 (　ABD　)
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一组基
B.空间的基有且仅有一组
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一组基
D.基{a，b，c}中基向量与基{e，f，g}基向量对应相等
解析：A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基， 所以A错误；B项空间基有无数组， 所以B错误；C项符合空间向量基的定义，故C正确；D项中因为基不唯一，所以D错误. 故选ABD.
10. 若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，则下列λ的值中使a，b的夹角的余弦值为的有 (　BC　)
A.2 B.－2
C. D.－
解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ＝×3×. 解得λ＝－2或. 故选BC.
11. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则下列结论正确的是 (　AB　)
A.AC⊥BD
B.△ACD是等边三角形
C.AB与平面BCD所成的角为90°
D.AB与CD所成的角为30°
解析：如图，
取BD的中点O，连接AO，CO，AC，则AO⊥BD，
CO⊥BD.又AO∩CO＝O，
∴BD⊥平面AOC，又AC 平面AOC，
∴AC⊥BD，A中结论正确；
∵AC＝AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，B中结论正确；
∵AO⊥平面BCD，
∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C中结论错误；
，不妨设AB＝1，则＝()2＝＋2＋2＋2，
∴1＝1＋2＋1＋2＋2＋2cos＜＞，
∴cos＜，∴＜＞＝60°，即AB与CD所成的角为60°，D中结论错误. 故选AB.
12. 一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触. 若小球上一点到这三个面的距离分别为4，5，5，则这只小球的半径可以是 (　AD　)
A.3 B.5
C.8 D.11
解析：如图，
设长方体的三个面共点为O，以OE，OF，OG所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，因为小球与共点的三个面相接触，所以设球心A(r，r，r)，因为小球上一点P到三个面的距离分别为4，5，5，所以设点P(4，5，5)，则＝(r，r，r)，＝(4，5，5)，由＝(4－r，5－r，5－r)，∴2＝(4－r)2＋(5－r)2＋(5－r)2＝r2，即r2－14r＋33＝0，解得r＝3或r＝11，故选AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为－1.
解析：由题意，设＝a，＝b，＝c，建立空间的一组基{a，b，c}，在正四面体中(a＋b)，＝c－b，所以(a＋b)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2)＝(2×2cos 60°－2×2cos 60°＋2×2cos 60°－2×2)＝－1.
14. 四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E， F分别为棱AB， AD的中点，则 ； .
解析：如图，
设BD的中点为G，连接CG，AG. 由题可知该四面体为正四面体，所以三角形ABD，三角形BCD为正三角形，所以AG⊥BD，CG⊥BD，因为CG，AG 平面ACG，且CG∩AG＝G，所以BD⊥平面ACG. 因为AC 平面ACG，所以BD⊥AC.因为点E，F分别为棱AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD＝1，
所以AC⊥EF. 所以2＝()2＝＋2＝4＋1＋0＝5，所以，因为，所以.
15. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿对角线AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角为60°，则|BD|＝.
解析：分别过B，D两点作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足为E，F，如图所示，
可求出，＝5－2×. 沿对角线AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角为60°时，
则 2＝ 2＋ 2＋ 2＋2＋2＋2×2＋＋0＋0＋2××cos，
∴.
16. 如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°. 沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是 .
解析：设过点B，D'作BB1，D'D1分别与AC垂直，垂足为B1，D1，设二面角B－AC－D'的大小为θ(0＜θ≤π)，则有
，，，，2＝()2＝＋0＋0＋2××(－cos θ)＝9－5cos θ，
又＝()·××cos∠ACD'－××cos∠ACB＝1×－3×＝1－3＝－2. 所以直线AC与BD'所成角的余弦值为
|cos＜＝，当θ＝0，即cos θ＝1时，直线AC与BD'所成角的余弦值最大，最大值是.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b (O为原点)
解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝＝5.
(2)假设存在点E，设，则＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，
因此存在点E，使得⊥b，
此时E点坐标为E.
18. (12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.
(1)求证：直线DE∥平面ABC；
(2)求B1E与平面AB1F所成角的正弦值.
解：(1)证明：如图，
设AB的中点为G，连接DG，CG，
则DG∥AA1∥EC，且DG＝AA1＝EC.
四边形DGCE为平行四边形，∴DE∥GC，
又DE 平面ABC，GC 平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
(2)以点A为坐标原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0，0)，B1(2，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，＝(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，2，－1)，设平面AB1F的一个法向量n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1). 设B1E与平面AB1F所成的角为θ，∴sin θ＝.
19. (12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝
∠ABC＝90°，E是PD的中点.
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.
解：(1)证明：取PA中点F，连接EF，BF.
因为E为PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD，由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝AD，
所以EF BC，四边形BCEF为平行四边形， CE∥BF.
又BF 平面PAB，CE 平面PAB，故CE∥平面PAB.
(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，＝(1，0，－)，＝(1，0，0)，
设M(x，y，z)，则＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)，
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n＝(0，0，1)是底面ABCD的一个法向量，
所以＝sin 45°，
，即(x－1)2＋y2－z2＝0. 　①
又M在棱PC上，设＝λ，则x＝λ，y＝1，z＝λ. 　②
由①②得(舍去)或
所以M，从而
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的一个法向量，则即
所以可取m＝(0，－，2).
于是cos＜m，n＞＝.
因此二面角M－AB－D的余弦值为.
20. (12分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
解：(1)证明：如图，
连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.
由∠ABC＝120°，
可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，
可得EF＝. 从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.
因为EG 平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)如图，以G为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系G－xyz.
由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，C(0，，0)，所以＝(1，)，.
故cos＜.
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.
21. (12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.
解：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM. 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM 平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.
当三棱锥M－ABC体积最大时，M为的中点.
由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，＝(－2，1，1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，0).
设n＝(x，y，z)是平面MAB的一个法向量，
则即
可取n＝(1，0，2).
又＝(2，0，0)是平面MCD的一个法向量，
因此cos＜n，，
sin＜n，.
所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.
22. (12分) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点.
(1)求证：C1B⊥平面ABC；
(2)求二面角A－EB1－A1的余弦值；
(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)证明：由题意，因为BC＝1，CC1＝2，∠BCC1＝，∴BC1＝，
∴BC2＋B，∴BC1⊥BC，
∵AB⊥侧面BB1C1C，BC1 侧面BB1C1C，
∴AB⊥BC1.
又∵AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴直线C1B⊥平面ABC.
(2)以B为原点，分别以和的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有A(0，0，2)，B1(－1，，0)，E，A1，
设平面AB1E的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，
＝(－1，，－2)，.
∵
∴
令y1＝，则x1＝1，∴n＝(1，，1).
设平面A1B1E的一个法向量为m＝(x，y，z)，＝(0，0，－2)，
，
∵
令y＝，则x＝1，∴m＝(1，，0)，
∵|m|＝2，|n|＝，m·n＝4，
∴cos＜m，n＞＝.
设二面角A－EB1－A1为α，
由m，n的方向知cos α＝cos＜m，n＞＝.
∴二面角A－EB1－A1的余弦值为.
(3)假设存在点M，设M，
＝λ，λ∈[0，1]，
∴(x－1，y，z)＝λ(－1，0，2)，
∴M(1－λ，0，2λ)，
∴，
∵平面A1B1E的一个法向量为m＝(1，，0)，∴，
得69λ2－38λ＋5＝0.
即(3λ－1)(23λ－5)＝0，∴λ＝或λ＝，
∴存在这样的点M，或.