第2章　解直角三角形
2.2　30°,45°,60°角的三角比
基础过关全练
知识点1　30°,45°,60°角的三角比
1.(2023山东威海乳山月考)在△ABC中,∠A=105°,∠B=45°,sin C的值是
(　　)
A.　　　B.　　　C.1　　　D.
2.如图,A、B、C均是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,那么tan∠BAC的值为 (　　)
A.　　　B.　　　C.1　　　D.
3.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则cos∠AOC的值为　　　　.
4.【教材变式·P44习题T1】(2022山东聊城月考)计算:
(1)2tan 45°--2sin2 60°+;
(2)2cos 30°+tan 30°·cos 60°-.
知识点2　由锐角三角比求角
5.【易错题】(2022山东淄博桓台期末)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,
tan A=,则∠B的度数是 (　　)
A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.75°
6.【教材变式·P44T4】(2023山东泰安东平校级月考)在Rt△ABC中,BC=3,AC=,∠C=90°,则∠A的度数是 (　　)
A.30°　　　B.40°　　　C.45°　　　D.60°
7.【新独家原创】在△ABC中,若+=0,则tan C的值为　　　　.
8.【新情境·钓鱼】如图,钓鱼竿AC长6 m,露在水面上的渔线BC长3 m,某钓者想看看鱼是否钓上来,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的渔线B'C'长3 m,求鱼竿转过的角度.
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9.(2022山东滨州中考,4,★☆☆)下列计算结果,正确的是 (　　)
A.(a2)3=a5　　B.=3 C.3=2　　D.cos 30°=
10.(2023山东菏泽巨野期中,2,★☆☆)已知∠β为锐角,且2cos β-1=0,则∠β=(　　)
A.30°　　　B.60°　　　C.45°　　　D.37.5°
11.(2022湖北荆门中考,5,★☆☆)计算:3+cos 60°-(-2 022)0=　　　　.
12.【新考向】(2022黑龙江绥化中考,18,★☆☆)定义一种运算:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)
=×+×=,则sin 15°的值为　　　　.
13.(2022山东聊城中考,18,★☆☆)先化简,再求值:
÷-,其中a=2sin 45°+.
14.【新考向】(2023山东泰安模拟,20,★☆☆)已知a=,b=2cos 45°+1,c=(sin 60°-tan 30°)0,d=|tan 45°-2sin 45°|.
(1)请化简这四个数;
(2)根据化简结果,列式表示这四个数中“有理数的和”与“无理数的积”的差,然后计算结果.
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15.【模型观念】阅读理解题:下面提供了利用45°角的正切值,求tan 22.5°的值的方法:
解:构造Rt△ABC,其中∠C=90°,∠ABC=45°,如图,延长CB到D,使BD=AB,连接AD,则∠D=∠ABC=22.5°.
设AC=a,则BC=a,AB=BD=a,
∴CD=BD+CB=a+a=(+1)a,
∴tan 22.5°=tan D===-1.
请你仿照此法求tan 15°的值.
答案全解全析
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1.A　 ∵∠A=105°,∠B=45°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=30°,
∴sin C=sin 30°=.故选A.
2.C　 如图所示,连接BC,
∵CB==,AB==,AC==,
∴CB2+AB2=AC2,AB=BC,
∴△ACB为等腰直角三角形,∠ABC=90°,
∴∠BAC=45°,∴tan∠BAC=tan 45°=1.
3.
解析　如图所示,连接BC,
由题意可得,
OB=OC=BC,∴△OBC是等边三角形,
∴∠AOC=60°,∴cos∠AOC=cos 60°=.
4.解析　(1)2tan 45°--2sin2 60°+=2×1--2×+=2-2-+=0.
(2)2cos 30°+tan 30°·cos 60°-
=2×+×-
=+-(-1)=+1=.
5.C　 易混淆30°和60°角的正切值出错.
∵tan 30°=,∴∠A=30°.∵∠C=90°,
∴∠B=90°-∠A=60°.故选C.
6.D　 如图所示,∵BC=3,AC=,∠C=90°,
∴tan A===,∴∠A=60°.故选D.
7.
解析　∵+=0,
∴sin A-=0,cos B-=0,
∴sin A=,cos B=,
∴∠A=60°,∠B=60°,
∴∠C=60°,∴tan C=.
8.解析　∵sin∠CAB===,
∴∠CAB=45°.
∵sin∠C'AB'===,
∴∠C'AB'=60°,
∴∠CAC'=60°-45°=15°.
∴鱼竿转过的角度是15°.
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9.C　A.(a2)3=a6,故该选项不符合题意;B.=2,故该选项不符合题意;C.3=2,故该选项符合题意;D.cos 30°=,故该选项不符合题意.故选C.
10.B　∵2cos β-1=0,∴cos β=,
∵∠β为锐角,∴∠β=60°.故选B.
11.-1
解析　3+cos 60°-(-2 022)0=-+-1=-1.
12.
解析　本题通过观察所给的公式,发现两角和差的正弦转化为两角的正弦、余弦积的和差的关系,从而利用这个公式计算即可.
由题意可得,sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°
=×-×=.
13.解析　÷-=÷-
=×-=-=,
∵a=2sin 45°+=2×+2=+2,
∴原式==1+.
14.解析　本题借助锐角三角比的值来判断有理数、无理数,并结合实数的运算进行考查.
(1)a==3,b=2cos 45°+1=2×+1=+1,c=(sin 60°-tan 30°)0=1,
d=|tan 45°-2sin 45°|==|1-|=-1.
(2)∵a,c为有理数,b,d为无理数,
∴(a+c)-bd=3+1-(+1)(-1)=4-(2-1)=3.
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15.解析　构造Rt△ABC,其中∠C=90°,∠ABC=30°,如图,延长CB到D,使BD=AB,连接AD,则∠D=∠ABC=15°.
设AC=a,则AB=BD=2a,BC=a.
∴CD=2a+a=(2+)a,
∴tan 15°=tan D===2-.