第4章　一元一次不等式(组)
4.4　一元一次不等式的应用
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知识点　用一元一次不等式解决实际问题
1.(2023福建厦门期末)把一些书分给同学,设每个同学分x本.若　　　　;若分给11个同学,则书有剩余.可列不等式8(x+6)>11x,则横线的信息可以是(　　)
A.分给8个同学,则剩余6本
B.分给6个同学,则剩余8本
C.分给8个同学,则每人可多分6本
D.分给6个同学,则每人可多分8本
2.【新独家原创】【国防科技】某日,在浙江绍兴市新昌县青少年活动中心,一场名为“创科技之翼,赴蓝天之约”的主题活动吸引了许多同学的目光.通过观看无人机在“空中战场”模拟战斗等,同学们对先进的国产无人机技术以及无人机在国防建设中的作用有了进一步的了解.为响应加强国防教育的战略号召,某学校计划成立创客实验室,现需购买航拍无人机和编程机器人共10个,总共花费不超过40 000元.已知航拍无人机的售价为4 500元/个,编程机器人的售价为3 000元/个,则最多可以购买　　　　个航拍无人机.
3.(2023湖北襄阳期末)为落实乡村振兴战略的重大决策部署.某驻村工作队为农户甲与农户乙两家购买了相同数量的种兔.几个月后,农户甲养兔数比几个月前种兔数多2,农户乙养兔数比几个月前种兔数的2倍少1,且农户甲养兔数不超过农户乙养兔数的,则几个月前工作队为农户甲与农户乙两家分别至少购买了多少只种兔
4.【一题多解】(2022广西玉林中考)某市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨,第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨,因龙眼大量上市,价格下跌,第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨,已知该公司两次购买龙眼共用了7万元.
(1)该公司两次购买龙眼各多少吨
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干,1吨龙眼可加工成0.2吨桂圆肉或0.5吨龙眼干,桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨,若要求全部的销售额不少于39万元,则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉
5.【跨学科·语文】“人间四月芳菲尽,山寺桃花始盛开”,为了感受大自然,描绘大自然的美景,小明和同学打算购买画笔与画板两种写生工具数量若干.已知购买2盒画笔和4个画板共需94元,购买4盒画笔和2个画板共需98元.
(1)购买一盒画笔和一个画板各需要多少元
(2)小明和同学商量,需要的画笔盒数和画板个数总共为10,且购买这些写生工具的总费用不得超过157元,则最少购买画板多少个
(3)在(2)的条件下,若最多只需要购买画板8个,则哪种购买方案更省钱
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6.【新情境·冬奥会】(2022湖南邵阳中考,23,★★☆)2022年2月4日至20日第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口顺利举行.某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售.已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个,“冰墩墩”挂件的进价为50元/个.
(1)若该商店购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11 400元,请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量;
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件的售价定为100元/个,“冰墩墩”挂件的售价定为60元/个,若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完,且至少盈利2 900元,求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个.
7.【主题教育·生命安全与健康】(2023湖南邵阳绥宁月考,23,★★☆)为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾驶人员的安全防护水平,公安部交通管理局拟在全国开展“一盔一带”安全守护行动.某商店销售A,B两种头盔,它们的进价和售价如下表所示,请根据表格信息回答下列问题.
种类 A种头盔 B种头盔
进价(元/个) 60 40
售价(元/个) 80 50
(1)该商店购进A,B两种头盔共100个,用去了4 600元,求A,B两种头盔各购进了多少个;
(2)经过几天销售后商店发现销量较好,于是又用5 400元购进这两种头盔若干个,若将这两次购进的头盔售完后所获总利润不低于3 000元,则该商店第二次至少应购进A种头盔多少个
8.(2021河北中考,21,★★☆)已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个,设A品牌乒乓球有x个.
(1)淇淇说:“球筐里B品牌球数量是A品牌球数量的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程:101-x=2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确;
(2)据工作人员透露:B品牌球的数量比A品牌球的数量至少多28个,试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个.
9.(2022湖南长沙期末,27,★★☆)某年湖南石门的桔子又是大丰收.为了争取利润最大化,老张决定从石门运橘子到山东,再从山东运苹果到石门.已知甲种车一次可以运12吨,每箱苹果的质量是橘子质量的两倍.
(1)若甲种车每次运输都刚好装满12吨,每次所运的桔子比苹果多400箱,则每箱桔子的质量是多少千克
(2)老张要从石门运102吨桔子到山东,现租用甲、乙两种车共6辆,且乙种车一次可以运20吨,则至少需要租用几辆乙种车
10.(2023重庆沙坪坝期末,23,★★☆)随着旅游业的多元化发展,自驾游呈现蓬勃发展的态势,相距50千米的甲、乙两家人相约开车自驾游,若两家人同时出发相向而行,先会合后再一同前往旅游目的地,则出发20分钟后相遇;若两家人同时出发同向而行,沿同一线路前往旅游目的地,则出发5小时后甲家的车A可追上乙家的车B.
(1)求A,B两车的平均速度分别为多少千米/时;
(2)两家人决定同时出发同向而行,沿同一线路前往旅游目的地,A车要想在出发后2小时内追上B车,求A车的平均速度要在原速的基础上至少提高多少千米/时.
11.(2021湖南益阳中考,24,★★☆)为了改善湘西北地区的交通,湖南省修建了长(沙)—益(阳)—常(德)高铁,其中长益段于2021年年底建成.开通后的长益段高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米,运行时间为16分钟.现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟,平均速度是开通后的高铁的.
(1)求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米;
(2)甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工,每天对其施工的长度比为7∶9,计划40天完成.施工5天后,工程指挥部要求甲工程队提高工效,以确保整个工程至少提早3天完成,那么甲工程队后期每天至少施工多少千米
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12.【创新意识】【新考法】某中学为了增加学生课外阅读的机会,计划修建一条读书走廊,并准备将若干块带有圆形花纹和没有花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起,按如图①所示的排列方式铺满走廊,已知每块正方形地砖的边长为0.6 m.
【观察思考】
当带有圆形花纹的地砖只有1块时,没有花纹的地砖有8块(如图②);当带有圆形花纹的地砖有2块时,没有花纹的地砖有13块(如图③);……以此类推.
【规律总结】
(1)按图示规律,第一个图案(图②)的长为　　　m,第五个图案的长为　　　　m;
(2)若这条走廊的长为Ln,带有圆形花纹的地砖块数为n(n为正整数),则Ln=　　　m(用含n的代数式表示);
【问题解决】
(3)若要使走廊的长Ln不小于72 m,则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块
答案全解全析
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1.C　由不等式8(x+6)>11x,可得若将这些书分给8个同学,则每人可多分6本;若分给11个同学,则书有剩余.故选C.
2.答案　6
解析　设购买x个航拍无人机,根据题意,得4 500x+3 000(10-x)≤40 000,解得x≤6,∵x为正整数,∴x最大取6,即最多可以购买6个航拍无人机.
3.解析　设几个月前工作队为农户甲与农户乙两家分别购买了x只种兔.
依题意得x+2≤(2x-1),解得x≥8.
答:几个月前工作队为农户甲与农户乙两家分别至少购买了8只种兔.
4.解析　(1)解法一:(列一元一次方程)设第一次购买龙眼x吨,第二次购买龙眼(21-x)吨,
由题意得0.4x+0.3(21-x)=7,解得x=7,
∴21-x=21-7=14(吨).
答:第一次购买龙眼7吨,第二次购买龙眼14吨.
解法二:(列二元一次方程组)设第一次购买龙眼x吨,第二次购买龙眼y吨,由题意得
解得
答:第一次购买龙眼7吨,第二次购买龙眼14吨.
(2)设把m吨龙眼加工成桂圆肉,则把(21-m)吨龙眼加工成龙眼干,
由题意得10×0.2m+3×0.5(21-m)≥39,
解得m≥15.
答:至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉.
5.解析　(1)设购买一盒画笔需要x元,一个画板需要y元,
依题意得
解得
答:购买一盒画笔需要17元,一个画板需要15元.
(2)设购买m个画板,则购买(10-m)盒画笔,
依题意得17(10-m)+15m≤157,
解得m≥,
又∵m为正整数,∴m的最小值为7.
答:最少购买画板7个.
(3)∵最多只需要购买画板8个,且m为正整数,∴m可以为7或8,∴共有2种购买方案,
方案1:购买7个画板,3盒画笔,所需费用为15×7+17×3=156(元),
方案2:购买8个画板,2盒画笔,所需费用为15×8+17×2=154(元).
∵156>154,∴在(2)的条件下,购买8个画板,2盒画笔更省钱.
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6.解析　(1)设购进“冰墩墩”摆件x个,“冰墩墩”挂件y个,
依题意得解得
答:购进“冰墩墩”摆件80个,“冰墩墩”挂件100个.
(2)设购进“冰墩墩”挂件m个,则购进“冰墩墩”摆件(180-m)个,
依题意得(60-50)m+(100-80)(180-m)≥2 900,
解得m≤70.
答:购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个.
7.解析　(1)设A种头盔购进了m个,B种头盔购进了n个,
依题意得解得
答:A种头盔购进了30个,B种头盔购进了70个.
(2)设该商店第二次购进A种头盔a个,则购进B种头盔=个,
依题意得(80-60)(30+a)+(50-40)≥3 000,
解得a≥70,
又∵a,均为整数,
∴a的最小值为70.
答:该商店第二次至少应购进A种头盔70个.
8.解析　(1)嘉嘉所列方程为101-x=2x,解得x=33,
又∵x为整数,∴x=33不合题意,
∴淇淇的说法不正确.
(2)A品牌球有x个,则B品牌球有(101-x)个,依题意得101-x-x≥28,解得x≤36,
又∵x为整数,∴x的最大值为36.
答:A品牌球最多有36个.
9.解析　(1)设每箱橘子的质量是x千克,则每箱苹果的质量是2x千克,
依题意得-=400,解得x=15,
经检验,x=15是原方程的解,且符合题意.
答:每箱橘子的质量是15千克.
(2)设需要租用乙种车m辆,则租用甲种车(6-m)辆,
依题意得12(6-m)+20m≥102,解得m≥.
又∵m为正整数,∴m的最小值为4.
答:至少需要租用4辆乙种车.
10.解析　(1)设A车的平均速度为x千米/时,B车的平均速度为y千米/时,依题意得
解得
答:A车的平均速度为80千米/时,B车的平均速度为70千米/时.
(2)设A车的平均速度要在原速的基础上提高m千米/时,依题意得2(80+m-70)≥50,解得m≥15.
答:A车的平均速度要在原速的基础上至少提高15千米/时.
11.解析　(1)设长益段高铁全长为x千米,长益城际铁路全长为y千米,
根据题意,得解得
答:长益段高铁全长为64千米,长益城际铁路全长为104千米.
(2)设甲工程队后期每天施工a千米,
甲工程队原来每天施工的长度为64÷40×=0.7(千米),
乙工程队每天施工的长度为64÷40×=0.9(千米),
根据题意,得0.7×5+0.9×(40-3)+(40-3-5)a≥64,
解得a≥0.85.
答:甲工程队后期每天至少施工0.85千米,可确保工程至少提早3天完成.
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12.解析　本题需要观察平面图形的变化规律,应用一元一次不等式解决问题.
(1)1.8;6.6.
(2)0.6(2n+1).
(3)由题意得0.6(2n+1)≥72,
化简,得2n+1≥120,
解得n≥,
∵n为正整数,
∴至少需要带有圆形花纹的地砖60块.