2023年河南省周口市商水县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如图所示的是由个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 碳纳米纤维是指由多层石墨片卷曲而成的纤维状纳米碳材料，它的直径一般为，长度分布在，具有质轻、导热性良好及很高的导电性和强度等特性，一碳纳米纤维的直径约为，将用科学记数法表示为( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
8. 某商场购进了一批，两种品牌的白酒，且两种白酒的瓶数相同，其中种品牌的白酒花费了元，种品牌的白酒花费了元，已知每瓶种品牌的白酒种品牌的白酒比种品牌的白酒价格贵元设种品牌的白酒每瓶的价格为元，根据题意可列方程( )
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，，其中点在轴上，点到轴的距离为，若将绕点顺时针旋转一定的角度得到，当点恰好落在轴正半轴上时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
10. 如图，甲所示的是一款酒精浓度监测仪的简化电路图，其电源电压保持不变，为定值电阻，为酒精气体浓度传感器气敏电阻，的阻值与酒精浓度的关系如图乙所示，当接通电源时，下列说法正确的是( )
A. 当酒精浓度增大时，的阻值增大
B. 当酒精浓度增大时，电压表的示数与电流表的示数的比值不变
C. 当酒精浓度增大时，电流表的示数变小
D. 当酒精浓度增大时，电压表的示数变小
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 请写出一个大于且小于的整数为______ ．
12. 不等式组的解集为______ ．
13. 现有背面完全相同，正面图案如图所示的张卡片，分别是笛卡尔心形线，谢尔斯宾斯三角，卡西尼卵形线和阿基米德螺线，张卡片正面朝下放置在桌面上，将其混合后，甲、乙两人依次从中抽取一张，则甲、乙两人抽取的两张卡片正面都是轴对称图形的概率是______ ．
14. 如图所示的是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图，其中点与点重合，点与点重合，则图中阴影部分的面积为______ ．
15. 如图，在长方形中，，，是射线上一点，将沿折叠得到，若点恰好落在的垂直平分线上，则线段的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
化简：．
17. 本小题分
为丰富学生的阳光校园生活，提升学生综合素养，实验学校开展了各种课外活动学校随机抽取了部分学生最喜欢的活动每人只能选择其中的一项活动进行调查：新生文学社；软件编程；英语协会；志愿者团队，并将调查结果绘制成如图所示的两幅统计图．
请你根据图中提供的信息回答以下问题：
本次接受调查的学生共有______ 人，扇形统计图中，扇形的圆心角度数是______ ；
请补全条形统计图；
若该校共有名学生参与了阳光校园活动，请估计选择“”的人数．
18. 本小题分
“惠风塔”是濮水小镇精心打造的标志性建筑，晋王羲之兰亭集序：“是日也，天朗气清，惠风和畅”由此取名”惠风”，取惠风和畅之意某校数学社团的同学在游览濮水小镇时，他们想测量“惠风塔”的高度为了测得惠风塔的高度，社团成员利用自制的测角仪在点处测得塔顶的仰角为，从点向正前方行进米到点处，再用测角仪在点处测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为米，且，，三点在同一条直线上求“惠风塔”的高度参考数据：，，
19. 本小题分
某社区开展关爱“空巢”老人的活动，现从厂家购进“九连环”与“鲁班锁”两种益智玩具用来丰富晚年生活，已知购进副“九连环”和副“鲁班锁”共需元；购进副“九连环”和副“鲁班锁”共需元．
分别求这两种玩具的单价；
该社区计划购进“九连环”的数量比“鲁班锁”数量的倍还多副，且两种益智玩具的总数量不少于副，社区应如何安排购买才能使费用最少？最少费用为多少？
20. 本小题分
如图，平行四边形的顶点与原点重合，边在轴的正半轴上，已知点，，反比例函数的图象经过对角线的中点．
求反比例函数的表达式；
连接，请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，分别交，，于点，，；要求：不写作法，标明字母并保留作图痕迹
在中所作图的基础上，求的值．
21. 本小题分
某商场为了庆祝“五一”劳动节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”如图琳琳对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成，并在底部的中心即图仪中的处固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下“不倒翁”就会左摇右晃，还不会完全倒下去，琳琳画出剖面图，如图，圆弧的圆心为，过的木杆长为，的延长线与地面直线交于点，，为圆弧的半径，长为如图，作为木杆的支架，且，关于对称弧的长为．
当时，试说明“不倒翁”所在圆弧与直线的位置关系；
在的条件下，求木杆的顶端点到直线的距离的长．
22. 本小题分
已知抛物线：经过点．
求抛物线的函数表达式；
将抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线若新抛物线与坐标轴有两个交点，求的值；
，为抛物线上两点点在点的右侧，点到对称轴的距离为个单位长度，点到对称轴的距离为个单位长度，为抛物线上点，之间含点，的一点个动点，求点的纵坐标的取值范围．
23. 本小题分
问题情景
如图，在正方形中，，分别是线段，上的点，且，垂足为，那么有 ______ 填“”“”或“”
问题迁移
如图，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点求证：．
证明：将线段向下平移至处，交于点，
，．
，
．
请将该证明过程补充完整．
问题拓展
如图，在四边形中，，，，点，分别在线段，上，且，垂足为已知，，为的三等分点，请直接写出线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】
【解析】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为、、．
故选：．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握主视图的画法是正确判断的关键．
3.【答案】
【解析】解：米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
由与平行，利用两直线平行馁错角相等求出的度数，再利用直角，即可确定出所求角的度数．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：．
，
则不符合题意；
B.
，
则不符合题意；
C.
，
则不符合题意；
D.
，
则符合题意；
故选：．
根据二次根式的运算法则，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式的运算法则将各项计算后进行判断即可．
本题考二次根式的减法运算及整式的运算，二次根式及整式的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，
解得．
均不符合题意，
故选：．
根据，求得的取值范围，即可作出选择．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的运用是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
故选：．
根据菱形的性质和三角形中位线定理得出，于是得到结论．
此题考查菱形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：种品牌的白酒每瓶的价格为元，则种品牌的白酒每瓶的价格为元，
由题意可得：．
故选：．
种品牌的白酒每瓶的价格为元，则种品牌的白酒每瓶的价格为元，根据“两种白酒的瓶数相同”即可列出分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：过点作轴于，过点作轴于，过作于，
，
，
点到轴的距离为，
，
，，
将绕点顺时针旋转一定的角度得到，
，，
，
≌，
，，
，，
∽，
，即，
，，
，
故选：．
过点作轴于，过点作轴于，过作于，先求出，再证明≌，得出，，再证明∽，推出，，从而求出点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：由图乙知的阻值与酒精浓度是反比例函数，且图象在第一象限，
的阻值随酒精浓度增大而减小，
当酒精浓度增大时，的阻值减小，故本选项不符合题意；
B.由图甲可知，定值电阻与气敏电阻串联，电压表测量定值电阻两端电压，
电压表的示数与电流表的示数的比值是定值电阻的值，故本选项符合题意；
C.当酒精浓度增大时，的阻值减小，根据欧姆定律知，电路电流增大，电流表示数增大，故本选项不符合题意；
D.当酒精浓度增大时，电路电流增大，电流表示数增大，据欧姆定律知，定值电阻两端电压增大，故本选项不符合题意．
故选：．
由图甲知定值电阻于传感电阻串联，电压表测量的是定值电阻的电压，根据图乙知，当酒精浓度增大时，传感的阻值减小，由欧姆定律可得电流中的变化，定值电阻两端电压的变化，再由串联电路的特点可得传感电阻两端电压的变化．
本题主要考查了物理知识与反比例函数的综合应用，根据反比例函数的图象弄清传感器电阻于酒精浓度的关系是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
一个大于且小于的整数是：，
故答案为：．
先估算出与的取值范围，进而可得出结论．
本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：用、、、分别表示笛卡尔心形线，谢尔斯宾斯三角，卡西尼卵形线和阿基米德螺线，
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面都是轴对称图形的结果数为，
所以甲、乙两人抽取的两张卡片正面都是轴对称图形的概率．
故答案为：．
用、、、分别表示笛卡尔心形线，谢尔斯宾斯三角，卡西尼卵形线和阿基米德螺线，画树状图展示所有种等可能的结果，接着找出抽取的两张卡片正面都是轴对称图形的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
14.【答案】
【解析】解：连接，作于点．
，
，
，
，
在直角中，，
则，
则弧和以及围成的阴影部分的面积是：，
则．
故答案是：．
连接，作于点，，即可求得弧和以及围成的重叠部分的面积，则重叠部分的面积即可求得．
本题考查了扇形的面积的计算，正确理解不规则的图形的面积转化为规则图形的面积的和、差计算是关键．
15.【答案】或
【解析】解：设直线交于，交于．
如图中，当点在线段上时，设．
在中，，，，
，
，
，
在中，则有，
解得．
如图中，当点在线段上时，设．
在中，，，，
，
，
，
在中，则有，
解得，
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
设直线交于，交于分两种情形：如图中，当点在线段上时，设如图中，当点在线段上时，设分别利用勾股定理求解即可．
本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义计算；
先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．也考查了整式的混合运算．
17.【答案】
【解析】解：人，，
故答案为：，；
选择活动的人数为：人，补全条形统计图如下：
人，
答：该校共有名学生参与了阳光校园活动选择“”的人数大约有人．
从两个统计图可知，选择活动的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数，进而求出选择活动所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
求出样本中选择活动的人数，补全条形统计图；
求出样本中样本中选择活动的人数所占的百分比，估计总体中样本中选择活动的人数所占的百分比，由频率进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的关键．
18.【答案】解：延长交于点，
由题意得：，米，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
米，
“惠风塔”的高度约为米．
【解析】延长交于点，根据题意可得：，米，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：设每副“九连环”元，每副“鲁班锁”元，
根据题意得，
解得，
每副“九连环”元，每副“鲁班锁”元；
设购进“鲁班锁”副，则购进“九连环”副，一共的购买费用为元，
两种益智玩具的总数量不少于副，
，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，取最小值，最小值为元；
此时，
购进“鲁班锁”副，购进“九连环”副，费用最少，最少费用为元．
【解析】设每副“九连环”元，每副“鲁班锁”元，列方程组可解得每副“九连环”元，每副“鲁班锁”元；设购进“鲁班锁”副，则购进“九连环”副，一共的购买费用为元，由两种益智玩具的总数量不少于副，可得，，而，由一次函数的性质可得答案．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
20.【答案】解：，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点为的中点，
点为的中点，
，
反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的表达式为．
如图，直线即为所求．
过作轴，
，
由勾股定理得，，
为线段的垂直平分线，
，，
，
，
∽，
，
解得．
【解析】由，，可得，结合平行四边形的性质可得，进而可得，将的坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可得出答案．
根据垂直平分线的作图方法作图即可．
由勾股定理及线段垂直平分线的定义可得，再结合已知条件证明∽，可得，求出的长．
本题考查作图基本作图、待定系数法求反比例函数解析式、平行四边形的性质、线段垂直平分线的作法，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
21.【答案】解：“不倒翁”所在圆弧与直线相切，理由如下，
设，
弧的长为．
，
，
，
，关于对称，
，
，
，
，
“不倒翁”所在圆弧与直线相切；
，，
，
，
，
，
，
．
【解析】由弧长公式求出，即可得到，于是得到，即可证明“不倒翁”所在圆弧与直线相切；
由直角三角形求出的长，得到的长，即可求出的长．
本题考查切线的判定，弧长的计算，直角三角形的性质，关键是由弧长公式求出；由直角三角形的性质求出的长，即可求出的长．
22.【答案】解：抛物线：经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式；
由知，抛物线的函数表达式，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，
新抛物线的顶点坐标为，
新抛物线与坐标轴有两个交点，
又新抛物线与轴必有一个交点，
新抛物线与只有一个交点，即抛物线的顶点在坐轴上，
，
解得：；
抛物线的函数表达式，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点坐标为，，
，为抛物线上两点点在点的右侧，点到对称轴的距离为个单位长度，点到对称轴的距离为个单位长度，
点的横坐标为或，点的横坐标为，
当点的横坐标为，点的横坐标为时，
此时，当点在顶点处取得最大值为，
当点在点处取得最小值，，
；
当点的横坐标为，点的横坐标为时，
此时，当点在点处取得最大值，
当点在点处取得最小值，，
．
综上，点的纵坐标的取值范围．
【解析】将点的坐标代入抛物线解析式中，求出的值即可求解；
易得抛物线的顶点坐标为，由抛物线平移的特性可得新抛物线的顶点坐标为，分析新抛物线与坐标轴有两个交点得到抛物线与轴只有一个交点，则，求解即可；
分析题意可得点的横坐标为或，点的横坐标为，再分别求出不同情况下点纵坐标的临界值，以此即可求解．
本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点个数问题、抛物线的平移、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
23.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，故答案为：；
证明：将线段向下平移至处，交于点，
，．
，
，
，
，
同可得，≌，
，
，
；
解：如图，过点作于，
，
，，
，
点为的三等分点，，
或，
，
或，
，
，
，
∽，
，
或，
解得或．
根据正方形的性质证明≌，即可求解；
结合可得≌，所以，进而可以解决问题；
如图，过点作于，根据垂直的定义得到，根据已知条件得到或，根据勾股定理得到或，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
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