2023年河南省平顶山市郏县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 如图所示的正三棱柱，下列说法正确的是( )
A. 该三棱柱的俯视图是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 该三棱柱的俯视图是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 该三棱柱的俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 该三棱柱的俯视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
3. 下列说法正确的是( )
A. “在足球赛中弱队战胜强队”是不可能事件
B. 疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用抽样调查
C. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是
D. 数据，，，，的方差是
4. 下列计算：；；；，其中计算正确的共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 机器人从点出发朝正东方向走了到达点，记为第次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第次行走，以此类推，该机器人第一次回到出发点时所走过的路程为( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知关于的不等式的解集是，则的取值范围在数轴上可表示为( )
A. B. C. D.
7. 对于函数，规定，例如，若，则有已知函数，那么方程的解的情况是( )
A. 有一个实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根
8. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点在反比例函数的图象上．若是等腰直角三角形，则下列的值错误的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，已知点、是以为直径的半圆的三等分点，的长为，连接、，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，正方形在直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线：沿轴的正方向以每秒个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为，平移的时间为秒，与的函数图象如图所示，则图中的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若，则______．
12. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______ ．
13. 点在反比例函数的图象上，若，求的取值范围______ ．
14. 如图，正方形的边长为，点在边上运动不与点，重合，，点在射线上，且，与相交于点，连接、、则下列结论：；的周长为；；的面积的最大值是；当时，是线段的中点其中正确的结论是______ ．
15. 如图，中，，，，是的中线，是线段上一动点，将沿折叠，点落在点处，线段与线段交于点，若是直角三角形，则 ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
先化简：，然后再从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值．
17. 本小题分
为了解某校七年级学生身高情况，随机抽取该校若干名学生测量他们的身高单位：，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
学生身高的频数分布表
组别 身高单位： 频数
请结合图表中提供的信息解答下列问题：
填空：样本容量为______，______，样本中位数所在组别为______．
学生身高扇形统计图中，组的扇形的圆心角度数为______．
已知该校七年级共有学生人，请估计身高不低于的学生约有多少人？
18. 本小题分
如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．
求证：；
若，当______时，四边形是菱形；
若，当______时，四边形是正方形．
19. 本小题分
年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的关于进一步加强塑料污染治理的意见正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研究购进一批型可降解聚乳酸吸管和一批型可降解纸吸管生产设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元，购买台型设备的费用恰好可购买台型设备．
求两种设备的价格．
市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量两种吸管总量的关系如所示以及吸管的销售成本与销售量的关系如所示．
的解析式为______；的解析式为______．
当销售量满足条件______时，该公司盈利即收入大于成本．
由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共台，其中型设备每天生产量为吨，型设备每天生产量为吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出型设备至少需要购进多少台？
20. 本小题分
天柱塔，又名天中塔，始建于年，驻马店标志性建筑，位于驻马店市开源大道与乐山大道交汇处天中塔是一个地方的文化象征如图，某校兴趣小组想测量天中塔的高度，塔前有一段斜坡，已知的长为米，它的坡度：在离点米的处，用测角仪测得塔顶端的仰角为，测角仪的高为米，求塔的高度约为多少米？结果精确到米
参考数据：，，，
21. 本小题分
如图，已知二次函数的图象经过点．
求的值和图象的顶点坐标．
点，在该二次函数图象上．
当时，请比较与的大小关系，并说明理由；
若点，位于抛物线对称轴的两侧，且，请求出的取值范围．
22. 本小题分
如图，在矩形中，，，圆弧过点和延长线上的点，圆心在上，上有一个动点，，交直线于点线段的长与的长以及的长之间的几组对应值如表所示．
将线段的长度作为自变量，在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象．
结合函数图象填空：结果精确到
线段的长度的最大值约为______；
线段的长度的最小值约为______；
圆弧所在圆的半径约等于______；
连接，面积的最大值约为______；
继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当以点、、为顶点构成的三角形为等腰三角形时，线段的长度的近似值．结果精确到
23. 本小题分
在中，，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，．
如图，当时，的值是______ ；的度数为______ ；
如图，当时，请写出的值和的度数，并就图的情形说明理由；
如图，当时，若，，请直接写出点到的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数定义可知，的倒数是．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】
【解析】解：该三棱柱的俯视图是等边三角形，等边三角形是是轴对称图形，但不是中心对称图形．
故选：．
判断出这个组合体的俯视图，再根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法及形状是正确判断的前提，理解轴对称图形、中心对称图形的定义是正确解答的关键．
3.【答案】
【解析】解：、“在足球赛中弱队战胜强队”是是随机事件，不是确定事件，故本选项不合题意；
B、疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用普查，故本选项不符合题意；
C、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是，正确，故本选项符合题意；
D、平均数是：，
则方差为，故本选项不符合题意．
故选：．
根据方差公式、事件的确定性和不确定性，以及随机事件的含义和特征，逐项判断即可．
此题主要考查了事件的确定性和不确定性，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件．
4.【答案】
【解析】解：原式，故符合题意．
原式，故符合题意．
原式，故符合题意．
原式，故符合题意．
故选：．
根据整式的加减运算法则、乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知机器人从点出发第一次回到时所围成的图形是一个正多边形，
则其边数为：条，
那么，
即该机器人第一次回到出发点时所走过的路程为，
故选：．
由题意可知机器人从点出发第一次回到时所围成的图形是一个正多边形，结合其外角和为求得边数后再乘以即可求得答案．
本题考查多边形的外角和，由题意得出机器人从点出发第一次回到时所围成的图形是一个正多边形是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：不等式不等式变形为：
，
关于的不等式的解集是，
，
解得：，
在数轴上表示：
故选：．
根据已知不等式的解集确定出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法，以及在数轴上表示不等式的解集的方法是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
整理得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选C．
先根据新定义得到，再把方程整理得，然后计算判别式的值，再利用根的判别式的意义进行判断即可．
本题考查根的判别式．
8.【答案】
【解析】解：在中，当时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当时，
过点作轴于，
，，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，，
，
点坐标为，
点在反比例函数的图象上．
．
当时，同理得到，
点在反比例函数的图象上．
，
当时，的坐标是、的中点，
，
，
综上，的值为或或，
故选：．
过点作轴于，证明≌，可得点坐标，同理求得的坐标，进而由、的坐标，求得，代入解析式求解即可．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
9.【答案】
【解析】解：连接，
点是以为直径的半圆的三等分点，
，
的长为，
，
，
，
，，
，
故选：．
连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据弧长公式求得半径，利用勾股定理求出、，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算，弧长的计算，掌握勾股定理、扇形面积公式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：直线：，
直线交于轴，
当直线经过时，经过路程为，
由图得，，
，
，
为直线被正方形的边所截得的线段长的最大值，
此时直线经过、点，
，
，
故选：．
由直线求出与轴交点，再由移动路程求出正方向边长，判断为直线被正方形的边所截得的线段长的最大值，利用勾股定理求出即可．
本题考查了动点问题的函数图象，一次函数性质及正方向性质是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：设，则
，，．
；
故答案是：．
根据比例的性质解答：设，则、、分别用表示，然后将其代入所求的代数式，消去，从而解得代数式的值．
本题考查了比例的性质，解答此题时，采用了换元法．
12.【答案】且
【解析】解：原方程整理得：，
解得：，
原方程有解，
，
即，
解得，
方程的解是正数，
，
解得，
且，
故应填：且．
先解关于的分式方程，它的解用含有的代数式表示，然后再依据“原方程有解”和“解是正数”建立不等式求的取值范围．
本题主要考查分式程的解，根据“原方程有解”和“解是正数”这两点建立不等式求的取值范围．
13.【答案】或
【解析】解：，
反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限，且随的增大而增大，
又点，在反比例函数的图象上，
有以下两种情况，
当点，在图象的同一个分支上时，
当点，都在第二象限时，
，
，解得：，
当点，都在第四象限时，
，
，
此不等式组的解集为空集；
当点，在图象的两个一个分支上时，
，
点在第四象限，点第二象限，
，
解得：．
综上所述：的取值范围是：或．
根据反比例函数的图象分两种情况进行讨论：
当点，在图象的同一个分支上时，又分两种情况，当两点都在第二象限时，根据列出不等式组，解此不等式组可得的取值范围；当两点都在第四象限时，根据列出不等式组，此不等式组的解集为空集；
当点，在图象的两个一个分支上时，根据得点在第四象限，点第二象限，据此可列出不等式组，解此不等式组可得的取值范围．
此题主要考查了反比例函数的图象及性质，解答此题的关键是理解对于反比例函数，当时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且随的增大而减小；当时，图象的两个分支在第二、四象限内变化，且随的增大而增大，难点是分类讨论思想在解题中的应用．
14.【答案】
【解析】解：如图中，在上截取，连接．
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，故正确，
如图中，延长到，使得，则≌，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，故错误，
的周长，故错误，
设，则，，
，
，
时，的面积的最大值为故正确，
当时，设，则，
在中，则有，
解得，
，故正确，
故答案为：．
正确．如图中，在上截取，连接证明≌即可解决问题．
错误．如图中，延长到，使得，则≌，再证明≌即可解决问题．
正确．设，则，，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
正确．当时，设，则，利用勾股定理构建方程可得即可解决问题．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
15.【答案】或
【解析】解：如图中，当时．
易知，作于则，
在中，
，，，
，，
，
，
在中，，，
．
如图中，当时，点与点重合，此时，，，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
分两种情形：如图中，当时．如图中，当时，分别求解即可．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：
，
，时，原分式无意义，，
可以取整数，
当时，原式．
【解析】首先计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再确定的值代入即可．
此题主要考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
17.【答案】
【解析】解：抽取的样本容量是，
组的人数为，
所以，则；
样本中位数所在组别为．
故答案为：，，；
所在扇形的圆心角度数是：，
故答案为：；
人，
答：估计身高不低于的学生约有人．
根据组所对应的圆心角的度数和频数，可以计算出抽取的样本容量，然后计算组所占的百分比得到的值；
根据中的结果和组的人数，可以计算出所在扇形的圆心角度数；
根据频数分布直方图中的数据，可以计算出该校七年级学生身高不低于的学生有多少人．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】；
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，．
是边上的高，且是由沿方向平移而成，
．
在与中，，
≌，
．
解：当时，四边形是菱形．
证明：，，
四边形是平行四边形．
中，，
，
直角三角形中所对直角边等于斜边的一半，
，，
．
．
四边形是菱形．
故答案是：；
解：时，四边形是正方形．
，，
，，
，
四边形是矩形，
当时，矩形是正方形，
，
，，
．
故答案是：．
根据平移的性质，可得：，再证明≌可得：；即可得到；
要使四边形是菱形，须使；根据条件找到满足时，与的数量关系即可；
当四边形是正方形时，，由，可得，再有可得．
此题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性质．关键是熟练掌握菱形的判定定理，以及平行四边形的性质．
19.【答案】
【解析】解：设型设备每台的价格万元，型设备每台万元，
，解得，
答：型设备每台的价格万元，型设备每台万元；
设与的函数关系式为，
点在该函数图象上，
，得，
即与的函数关系式为；
设与的函数关系式为，
，
解得，
即与的函数关系式为；
故答案为：，；
由图象可得，
当时，该公司盈利，
故答案为：；
设购进型设备台，则购进型设备台，
由题意可得，，
解得，
为正整数，
至少是，
答：型设备至少需要购进台．
根据购买台型设备和台型设备共需万元，购买台型设备的费用恰好可购买台型设备，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据函数图象中的数据，可以分别求得的解析式和的解析式；
根据函数图象中的数据，可以直接写出当销售量满足什么条件时，该公司盈利；
根据题意和图象中的数据，可以列出相应的不等式，然后再根据台数为正整数，从而可以得到型设备至少需要购进多少台．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式．
20.【答案】解：延长交于点，过点作，垂足为，
由题意得：，米，，
斜坡的坡度：，
，
在中，，
，
米，
米，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
塔的高度约为米．
【解析】延长交于点，过点作，垂足为，根据题意可得：，米，，再根据已知可得在中，，从而可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得米，米，从而可得米，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：将的坐标代入得，，
解得，，即，
顶点坐标为．
，理由如下，
，
，，
，两点在对称轴的左侧，且在点的左侧，
．
当点在对称轴的左侧时，在对称轴的右侧，
且，无解；
当点在对称轴的右侧时，在对称轴的左侧，
此时且，即，
，
，
解得，
综上所述，当时，点，位于抛物线对称轴的两侧，且．
【解析】将的坐标代入可求出，即可确定二次函数的解析式，进而配方成顶点式，即可求出顶点坐标．
由已知的范围确定与的范围和大小关系，从而确定，两点间的位置关系及两点和对称轴的位置关系，即可判断两点纵坐标的大小关系．
当在对称轴左侧时，无解；当在对称轴右侧时，可得，结合，即可知，从而可确定的取值范围．
本题主要考查了二次函数的图象和性质．本题的解题关键是确定两点和对称轴的位置关系．在二次函数图象中，若两点在抛物线上，则两点纵坐标的大小常结合两点与对称轴的位置关系以及两点到对称轴距离的大小来确定．
22.【答案】
【解析】解：如图所示即为所求图形，
当时，有最大值为；
当时，长度最小值为；
当移动到处时，此时，也在点，也为，
则为所在圆半径，
；
连接，
，，，
，
则当值最大时，有最大值，
从表中可知：当时，由最大值为，
此时有最大值：，
故答案为：，，，；
画函数的图象，结合函数图象可得：
当时，函数与函数的图象相交，交点对应的值就是的长度；
当时，函数与函数的图象相交，交点对应的值就是的长度；
当时，函数与函数的图象相交，交点对应的值就是的长度；
当为等腰三角形时，线段的长度约为，或，或．
根据表格描点连线即可；
根据表中信息及函数图像估算最值即可；
分情况讨论：当时，求得的长；当时，求得的长，当时，求得的长．
本题考查了函数图像几何类问题，矩形的性质，勾股定理，圆的综合题，以及分情况讨论等腰三角形腰的情况，正确理解函数图象中的点代表的含义，正确运用表中数据是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，，
是等边三角形，
，，
同理可得：是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，，
故答案为：，；
，，
，，
同理可得：，，
，，
，
∽，
，，
；
如图，
作于，作于，作，交的延长线于，
在中，，，
，，
在中，，，
，
，
，
同理可得：，，
，，
在中，，，
，
由得，
，
；
如图，
由上知：，，
，，，
，
，
综上所述：点到的距离为：或．
可证得≌，进一步得出结果；
可证得∽，从而，，进而得出结果；
分为两种情形，结合图形：作于，作于，作，交的延长线于，解得出，，解得出，从而求得，，同理可得：，，
，，解求得，由得出结果，另一种情形同样得出．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练“手拉手“等模型．
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