2023年浙江省杭州市西湖区文理中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数为．( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为，数字用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 不等式的解为( )
A. B. C. D.
5. 某同学对数据，，，，，进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数
6. 如图，在 中，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7. 某书店分别用元和元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进套，根据题意，列方程正确的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在矩形中，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，在中，为边上一点，以为圆心，为半径的半圆切于点，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
10. 若二次函数的解析式为若函数图象过点和点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算： ______ ．
12. 分解因式： ．
13. 一个布袋里放有个红球、个白球和个蓝球，它们除颜色外其余都相同从布袋中任意摸出个球，摸到红球的概率是______ ．
14. 如图，已知四边形内接于，，则的度数是______．
15. 如图，在菱形中，点为中点，连结，，将沿直线折叠，使点落在上的点处，连接并延长交于点，则的值为______ ．
16. 如图，的半径于点，连接并延长交于点，连接，若，，
的半径为______ ；
的值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 如图，已知四边形中，，于点，于点，．
求证：≌．
若点是中点，，，求的长．
四、解答题（本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
下面是亮亮同学计算一道题的过程：
亮亮计算过程从第______ 步出现错误的；填序号
请你写出正确的计算过程．
19. 本小题分
为了解某学校疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中机抽取若干名学生进行调查以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题．
组别 平均每日体自设炼时间分 人数
______
本次调查共抽取______ 名学生．
抽查结果中，组有______ 人
在抽查得到的数据中，中位数位于______ 组填组别．
若这所学校共有学生人，则估计平均每日锻炼超过分钟有多少人？
20. 本小题分
已知点在反比例函数图象上．
求反比例函数的表达式和点的坐标；
已知一次函数的图象经过点，，求一次函数的表达式；
直接写出不等式的解集．
21. 本小题分
如图，在中，，是的中线，作于，作交于．
求证：∽；
若，，求及的长．
22. 本小题分
已知抛物线．
当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
若该抛物线上任意两点，都满足：当时，，当时，，试判断点是否在抛物线上；
，是抛物线上的两点，且总满足，求的最值．
23. 本小题分
如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上的一点，连接、、，且．
求证：直线是的切线；
若，
求的值；
作的平分线交于点，交于点，连接、，若，求的值用含的代数式表示．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：，
的倒数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、原式左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项符合题意；
D、原式，故此选项不符合题意；
故选：．
根据有理数乘方和有理数的加减法运算法则判断和，根据有理数的乘方和有理数的乘法运算法则判断，根据负整数指数幂的运算法则判断．
本题考查负整数指数幂，掌握有理数混合运算的运算法则，理解是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
则，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
5.【答案】
【解析】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为与的平均数，与被涂污数字无关．
故选：．
利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断即可．
本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和众数的概念．
6.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，则，再由等腰三角形的性质得，则，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设该书店第一次购进套，
根据题意可列方程：，
故选：．
根据“第一次购买的单价第二次购买的单价”可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接，过点作，垂足为，
与半相切于点，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的面积
，
故选：．
连接，过点作，垂足为，根据切线的性质可得，然后在中，可求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，三角形的面积，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：二次函数的解析式为．
该函数的对称轴为直线，
函数过点和点，
，
，
，
，
当时，取得最大值；当时，取得最小值，
的取值范围是，
故选：．
根据二次函数的解析式为可以得到该函数的对称轴，再根据函数过点和点，可以得到，然后即可用含的代数式表示出，然后根据在该函数图象上，代入函数解析式，即可得到关于的二次函数，再根据的取值范围，即可得到的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，得到和的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
11.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先计算算术平方根，再计算减法．
此题考查了算术平方根的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．
12.【答案】
【解析】解：．
直接提公因式法：观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
本题考查了提公因式法因式分解的运用．
13.【答案】
【解析】解：摸到白球的概率，
故答案为：．
根据概率公式进行计算即可．
本题主要考查了求等可能时间的概率，解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】
【解析】解：四边形内接于，，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，延长交的延长线于．
四边形是菱形，
，，，
由翻折的性质可知，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
如图，延长交的延长线于首先证明，，推出，即可解决问题．
本题考查菱形的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：，
，
设的半径为，则，即，
解得，
故答案为：；
过点作于点．
，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据垂径定理求出的长，在中，根据勾股定理即可得出的值，再求出的长；
根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是垂径定理与勾股定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
17.【答案】证明：于点，于点，
，，
，，
在，中，，
，
≌；
解：，，，
，
，
，
点是中点，
，，
，
．
故AD的长为：．
【解析】根据垂直关系找出对应角为，根据已知的边长关系，找到其他边的关系，三边相等的直角三角形即可判定全等；
中求出，由，得出，由点是中点，得出，又，在中即可求出．
本题考查了全等三角形的判定与勾股定理，解题关键是在直角三角形中找出对应边相等．
18.【答案】
【解析】解：亮亮计算过程从第步出现错误的；填序号
故答案为：；
．
根据题目中的解答过程，可以发现最先错在哪一步以及错误的原因；
先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；注意乘法分配律的运用，写出正确的解答过程即可．
本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
19.【答案】
【解析】解：本次调查的人数有：名，
故答案为：；
抽查结果中，组有人，
故答案为：；
共有个数据，其中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据均落在组，
在抽查得到的数据中，中位数位于组；
故答案为：；
人，
答：估计平均每日锻炼超过分钟有人．
用组的人数除以其所占百分比可得；
总人数减去其他类别人数即可求得组的人数；
根据中位数的定义即可求解；
用总人数乘以样本中平均每日锻炼超过分钟的人数所占比例即可求解．
本题考查频数率分布表、扇形统计图、中位数、样本估计总体等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
20.【答案】解：点在反比例函数图象上，
，
，
，
反比例函数的解析式为；
一次函数的图象经过点，，
，
解得，
故一次函数的解析式为；
观察图象，不等式的解集是：或．
【解析】根据反比例函数图象经过点求出的值，得出反比例函数的解析式，
根据一次函数的图象经过点和点，求出和的值，得出一次函数的解析式；
根据函数的图象和交点坐标即可求得．
此题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系．注意运用数形结合的思想，难度不大，是中考常考的题型．
21.【答案】证明：，是的中线，
，
，
，
，
，
∽；
解：，，，
．
由知：∽，
，
，
，．
，是的中线，
；
．
，
，
，
．
【解析】利用直角三角形的斜边上的中线的性质，相似三角形的判定定理解答即可；
利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质求得三角形的三边，再利用直角三角形的斜边上的中线的性质求得的长；再利用平行线分线段成比例定理求得即可．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：当时，抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
，
抛物线对称轴为直线，
当时，，当时，，
抛物线对称轴为值，即，
，
将代入得，
点不在抛物线上．
抛物线对称轴为直线，
在对称轴的右侧，
，是抛物线上的两点，且总满足，
，
解得，
的最小值为，最大值为．
【解析】将解析式化成顶点式即可求解．
由当时，，当时，，可得抛物线对称轴为直线，从而可得，然后将代入解析式判断．
由题意得，解不等式即可求解．
本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
23.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又，
，
即，
，
又为半径，
直线是的切线；
解：，，
∽，
，
设半径，
，
，，
在中，
，
在中，
；
在的条件下，，
，
，
在中，
，，
解得，，
平分，
，
又，
∽，
，
．
【解析】连接，先得出，再得出，进而得出，最后根据切线的判定得出结论；
先得出∽，进而得出，设半径，根据勾股定理得出，最后根据三角函数得出结果；
由的结论，得出，结合直角三角形的性质得出，，然后得出∽，最后根据得出结论．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解决实际问题是解题的关键．
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