人教版九上 22.2 二次函数与一元二次方程
一、选择题（共17小题；共51分）
1. 抛物线 的顶点在 轴上，则 的值为
A. B. C. D.
2. 二次函数 的图象与 轴的交点的个数是
A. B. C. D.
3. 下列二次函数中，图象与 轴没有交点的是
A. B. C. D.
4. 抛物线 与坐标轴的交点个数是
A. B. C. D.
5. 如图，二次函数 的图象与 轴交于 ，，与 轴的负半轴交于点 ，则方程 的实数根为
A. ， B. ， C. ， D. ，
6. 如图，二次函数 的图象与 轴相交于 和 两点，则不等式 的解是
A. B. C. D.
7. 函数 与 的图象如下图所示，下面结论：① ，② ，③ ，④当 时，，其中正确的结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 二次函数 的图象如图所示，现有以下结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
其中正确的结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9. 二次函数 的部分对应值如下表：
利用二次数的图象可知，当函数值 时， 的取值范围是
A. 或 B.
C. 或 D.
10. 如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交点为 ，直线 与抛物线交于 ， 两点，下列结论：① ；②抛物线与 轴的另一个交点坐标是 ；③ ；④方程 有两个不相等的实数根；⑤当 时，．其中正确结论的个数为
A. B. C. D.
11. 二次函数 和一次函数 （， 是常数，且 ，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.
12. 抛物线 的开口向上，与 轴的交点在 轴的负半轴，那么方程 的两实数根的积
A. 大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 以上都不对
13. 下列二次函数的图象与 轴没有交点的是
A. B. C. D.
14. 现有函数 ，如果对于任意的实数 ，都存在实数 ，使得当 时，，那么实数 的取值范围是
A. B. C. D.
15. 直线 与抛物线 只有一个交点，则 的值为
A. B. C. D.
16. 已知关于 的方程 的两根为：，，则二次函数 的对称轴是
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 轴
17. 二次函数 的图象与一次函数 的图象没有交点，则 的取值范围是
A. B.
C. 或 D.
二、填空题（共8小题；共24分）
18. 如图，直线 和抛物线 都经过点 和 ，不等式 的解集为 ．
19. 二次函数 的图象与 轴无交点，写出一个满足条件的实数 的值为 ．
20. 抛物线 与 轴只有一个交点，则 ．
21. 如图，抛物线 与 轴的一个交点为 ，对称轴是直线 ；
（）抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ；
（）当 时，；
（）当 时， 随 的增大而减小．
22. 抛物线 （ 为常数）与 轴交点的个数是 ．
23. 若一次函数 的图象如图所示，则抛物线 的顶点在第 象限．
24. 已知二次函数 （ 为常数），若该函数图象与 轴只有一个公共点，则 ．
25. 如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别相交于点 ，点 ，将它绕点 逆时针旋转 后，与 轴相交于点 ，我们将图象过点 ，， 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数 的关联二次函数是 ，那么这个一次函数的解析式为 ．
三、解答题（共5小题；共45分）
26. 如图，直线 与坐标轴交于 ， 两点，抛物线 经过点 ，与直线 交于点 ，且与 轴交于 ， 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积．
27. 已知二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题
（1）写出方程 的两个根；
（2）写出不等式 的解集
（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围；
（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
28. 如图，直线 和抛物线 都经过点 ，点 ，且 ．
（1）求 的值及点 的坐标；
（2）求不等式 的解集．（直接写出答案）
29. 已知直线 经过点 ， 两点，抛物线 与已知直线交于 ， 两点（点 在点 的右侧），顶点为 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求 的取值范围；
（3）若直线 与直线 所成夹角的余切值等于 ，求抛物线 的表达式．
30. 已知，二次函数 的图象与 轴交于点 ，点 ，与 轴交点 ．
（1）求二次函数解析式；
（2）设点 为 轴上一点，且 ，求 的值；
（3）若点 是直线 上方抛物线上一动点，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，求线段 的最大值及此时点 的坐标．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. C
4. B
【解析】，
抛物线与 轴没有交点，而抛物线 与轴的交点为 ，
抛物线 与坐标轴的交点个数为 ．
5. C
【解析】 二次函数 的图象交于 ，，
，
为 的实数根为 ，，
故选C．
6. B
7. B
8. C
9. D
【解析】由表格可知，对称轴为直线 ，图象开口向上，与 轴交于 ， 两点，则当函数值 时， 的取值范围是 ．
10. D
【解析】①由抛物线的对称轴知 ，
，
，
此结论正确；
②设抛物线与 轴的另一个交点坐标是 ，
根据题意得 ，
，
此结论正确；
③把 代入 得，，
，
，
，
，
此结论正确；
④由图象可知，直线 与抛物线 有两个交点，
有两个不相等的实数根，即 有两个不相等的实数根，此结论正确；
⑤由图象可知，当 时，抛物线在直线上方，于是 ，此结论正确．
11. C
【解析】选项A中，由抛物线开口向下可知 ，由一次函数 的图象与 轴交于正半轴可知 ，矛盾，选项A错误．
选项B中，由抛物线开口向下可知 ，由抛物线的对称轴在 轴左侧，易知 ，由一次函数 的图象经过第一、三，四象限知 ，，矛盾，B错误．
选项C中，由抛物线开口向上可知 ，由抛物线的对称轴在 轴右侧，易知 ，由一次函数 的图象可知 ，，选项C正确．
选项D中，由抛物线开口向上可知 ，由抛物线的对称轴在 轴右侧，易知 ，由一次函数 的图象可知 ，，矛盾，选项D错误．
12. C
13. D
【解析】A．，此抛物线与 轴有两个交点，所以A选项错误；
B．，此抛物线与 轴有两个交点，所以B选项错误；
C．，此抛物线与 轴有1个交点，所以C选项错误；
D．，此抛物线与 轴没有交点，所以D选项正确．
14. A
【解析】①当 时，
对任意实数 都存在实数 ，
使 ，
，
②当 时，
，
综上 取值范围 ．
15. D
【解析】根据题意得：，
即 ，
则 ，
解得：．
16. C
17. C
【解析】由题意可知：方程 在 上没有解，
即 在 上没有解，
当 时，
即 ，
解得 ，
当 时，
当 ，，
则 ，且对称轴 ，
即 ，
，
解得：，
综上所述， 的取值范围是 或 ，
故选：C．
第二部分
18. 或
19. （答案不唯一）
【解析】二次函数 的图象与 轴无交点．
则令 ，，
，
，
此答案不唯一．只要 即可，
故答案为：（答案不唯一）．
20.
【解析】 抛物线与 轴只有一个交点，
，
，．
21. ， 或 ，
22.
【解析】 抛物线为 （ 为常数），
当 时，，
，
有两个不相等的实数根，
抛物线 （ 为常数）与 轴有两个交点．
23. 二
【解析】抛物线 的顶点是 ，由一次函数 的图象可知 ，，
所以抛物线 的顶点在第二象限．
24.
【解析】 二次函数 图象与 轴有且只有一个公共点，
，
解得：．
25.
【解析】一次函数 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 绕 点逆时针旋转 后，与 轴的交点为 ，
即 ，， 过批物线 ，
即
得
将 代入 有 ，
整理得 ，
解得 或 （舍），
将 代入 得 ，
故方程组的解为
则一次函数的解析式为 ，
故答案为：．
第三部分
26. （1） ．
（2） ．
27. （1） ，．
（2） ．
（3） ．
（4） 因为方程 有两个不相等的实数根，
所以观察图象直线 与抛物线有两个交点的情况，即 ．
28. （1） 将点 的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
故直线的表达式为： ①
将点 的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为： ②
联立①②并解得：，
故点 ．
（2） 从图象可以看出：不等式 的解集为： 或 ．
29. （1） 直线 经过点 ，，
有 解得
直线的表达式为 ．
（2） ，
，
顶点坐标为 ，
顶点不在第一象限，
，
．
（3） 依题意有 解得 或
抛物线与已知直线交于 ， 两点，
顶点 坐标为 且点 在点 的右侧，
点 ，点 ，
过点 作 垂直 于点 ，
设点 坐标为 ，
，，
直线 与直线 所成夹角的余切
设直线 的表达式为 ，直线 过点 ，，
有 解得 ，
，
，即
联立①②，解得 或
当 时，点 坐标为 与点 重合，不符合题意，
，
抛物线的表达式为 ．
30. （1） 把 ， 代入 中，
得 解得：，，
．
（2） 在二次函数解析式为 ，
令 ，则 ，
则点 坐标 ，而 ，，
，，
，
，
．
（3） 设直线 为：，
把 和 代入得： 解得：
，
，
，
过点 作 轴，交 于点 ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设点 ，则 ，
，
当且仅当 时， 的最大值是 ，
，
当点 时， 的最大值是 ．