2022-2023学年天津市四校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2. 若，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化某乡镇通过建立帮扶政策，该乡镇财政收入单位：亿元与年份单位：年具有线性相关关系，根据样本数据用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是( )
A. 回归直线过样本的中心点
B. 与具有正线性相关关系
C. 若该乡镇在第年，则可断定其财政收入必为
D. 若该乡镇每经过一年，则其财政收入约增加亿元
4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示则的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
5. 从名医生和名护士中选出人，要求医生护士都需要参加，将这人分别分配到个医院参加交流活动，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
6. 已知正项等比数列首项为，且，，成等差数列，则前项和为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数满足，且当，，时，，则大小关系是( )
A. B.
C. D.
8. 已知，则的值( )
A. B. C. D.
9. 已知函数的导函数为，且对任意的实数都有是自然对数的底数，，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10. 在的展开式中，二项式系数和是，的系数为______ ．
11. 某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布若平均分为，分以下人数概率为，理论上说在分数段人数概率为______ ．
12. 若：，是假命题，则实数的取值范围是______ ．
13. 已知，则的最小值为______ ．
14. 天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为和，高铁和大巴准点到达的概率分别为和，则他准点到达天津的概率是______ 分数作答若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高______ 分数作答．
15. 设表示不超过的最大整数，如，已知函数有且只有个零点，则实数的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知函数其中为常数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间；
若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
17. 本小题分
如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，．
证明：平面平面；
求到平面距离；
求直线与平面夹角余弦值．
18. 本小题分
在中国，大熊猫是每个中国人都非常熟悉的动物，有着不可撼动的地位随着国宝“萌兰”、“花花”可爱搞笑视频的流行，也掀起了一波热爱、保护动物的热潮某动物园为了向游客宣传保护动物知识，对来访者开设小型知识问答游戏游戏规则：每位游客回答判断、选择两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得分，答错得分，两组题目得分的和作为该游客的成绩，不低于分，即可得到一个熊猫玩偶小明估计答对每道判断题的概率均为，答对每道选择题的概率均为．
按此估计求小明判断题得分比选择题得分多分的概率；
估计小明得到熊猫玩偶的概率；
记小明在比赛中的得分为，按此估计的分布列和数学期望．
19. 本小题分
设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，．
求与的通项公式；
设，，求数列的前项和；
设，求．
20. 本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
当时，，求的取值范围；
已知函数，对任意的，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，，
所以．
故选：．
利用集合的交集运算求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，得，或，得或，
因为当或时，不一定成立，而当时，或成立，
所以“”是“”的必要而不充分条件．
故选：．
先解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于：回归直线过样本的中心点，故A正确；
对于：由题意得，故与具有正线性相关关系，故B正确；
对于：该乡镇在第年，只能估计，不能断定其财政收入为，故C错误；
对于：若该乡镇每经过一年，则其财政收入约增加亿元，故D正确．
故选：．
对于：根据回归直线过样本的中心点判断；对于：根据判断；对于：根据回归分析的意义判断；对于：根据回归直线方程为判断．
本题考查线性回归方程，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：的图象关于原点对称，则是奇函数，排除；
当时，，排除；
当时，，排除．
故选：．
根据的图象关于原点对称排除部分选项，再由，时的函数值判断．
本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，先选出三人分两种情况，
即名医生和名护士，有种选法，
或名医生和名护士，有种选法，
再将选出的三个人全排列即可，
所以共有种安排方法．
故选：．
根据分步计数原理，结合排列组合即可求解．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，成等差数列，，
又正项等比数列首项为，，解得或舍去，
，
故选：．
利用等差数列的性质及等比数列的前项和公式即可求解．
本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式及前项和，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，得，
由当，，时，，得函数在上单调递减，
显然，则，而，
因此，即有，
所以．
故选：．
利用变形，由给定不等式确定函数的单调性，再利用指数、对数函数的性质比较大小作答．
本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
所以，，
则．
故选：．
由，得到，然后由求解．
本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由已知得，
令，则，即，
，
，
，
，
，
令得，，


单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
可知时，取得极大值，时，取得极小值，
其中，，，
当趋近于负无穷时，趋近于零，则函数的草图如下图，
不等式的解集中恰有两个整数，
当时，不等式的解集中恰有两个整数，，
即实数的取值范围是．
故选：．
构造函数，结合和，利用导数画出的图象，结合函数图象即可求出实数的取值范围．
本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得：，解得，
可得的展开式的通项为，
令，解得，则，
所以的系数为．
故答案为：．
根据二项式系数之和可得，进而结合二项展开式的通项公式运算求解．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，，
所以
所以．
故答案为：．
根据正态分布的性质求解即可．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：，是真命题，
因为在上单调递增，则，可得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
根据题意分析可得，是真命题，结合对勾函数单调性运算求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
巧用的代换根据基本不等式求最值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设事件为他准点到达天津，事件为他乘坐高铁到达天津，事件为他乘坐大巴到达天津，
若他乘坐高铁，且正点到达天津的概率为，
若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为，
则，且，
所以乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高．
故答案为：；．
根据互斥事件的概率公式，求得他准点到达天津的概率，再结合条件概率的计算公式，即可求解．
本题主要考查了互斥事件的概率公式，考查了条件概率公式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设，由已知条件得，则有且只有个根，
当时，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，；
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当，时，，，
故函数图象如下图所示：
由图可知，．
故答案为：．
设，利用导数画出部分的函数图象，在求出的函数解析式，并画出函数图象，数形结合即可求解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】解：当时，，
则，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
的定义域为，
由，得，
当时，，当时，，
所以的递增区间为，递减区间为，
由可知当取得最大值，
因为对任意，不等式恒成立，
所以，即，，
解得或，
即的取值范围为．
【解析】利用导数的几何意义求解即可；
先求函数的定义域，然后对函数求导，再根据导数的正负可求出函数的单调区间；
将问题转化为，由可求出的最大值，然后解不等式可得结果．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：证明：取和 的中点和，连接和，
易知为正三角形，则，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，即，则可取，
设平面的一个法向量为，
则，即，则可取，
因为，
所以，
所以平面平面．
由平面的法向量为，，，
设直线与平面所成的角为，
可得，
则到平面的距离为．
由为正三角形，且为的中点，可得，
在正三棱柱中，可得平面，
所以为平面的一个法向量，即为平面的一个法向量，
又由，
可得，
设直线与平面夹角为，
可得，
则，
即直线与平面夹角的余弦值为．
【解析】取和 的中点和，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，，结合，即可得证；
由平面的法向量为，且，结合向量的夹角公式，即可求解；
由平面，得到平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，求得直线与平面夹角余弦值．
本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：事件表示“小明判断题得分比选择题得分多分”，
则事件包含小明判断题答对道，选择题答对道，
或者小明判断题答对道，选择题答对道，
则．
所以小明判断题得分比选择题得分多分的概率．
事件表示“小明得到熊猫玩偶”，
则事件包含小明得分分，或者得分分，
且小明得分分表示判断题答对题且选择题答对题，
或者判断题答对题且选择题答对题，
概率为，
小明得分分表示判断题答对题且选择题答对题，
概率为，所以．
所以小明得到熊猫玩偶的概率为．
由题意可知，的可能取值有，，，，，
则，
，
，
，
，
则分布列为：
则．
【解析】根据题意，事件包含两种情况，小明判断题答对道，选择题答对道，或者小明判断题答对道，选择题答对道，即可得到结果；
根据题意，小明得分分，或者得分分，列出式子即可得到结果；
根据题意，由条件可得的可能取值有，，，，，然后分别求出其对应的概率，即可得到结果．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
19.【答案】解：设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由已知条件得，
即，
解得舍去或，
所以，；
，
；
由已知得，
，
则表示数列的前项和，
令是数列的前项和，
则，
，
，
即，
故．
【解析】利用等差数列的前项和公式，等差数列以及等比数列的通项公式求解；
利用裂项法求和；
利用错位相减法求和．
本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：函数的定义域为，
当时，，则，
令，则，
所以在上递增，
因为，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在上递增，在上递减；
由，得，
即，
所以，
令，
则
，
若，即时，当时，，
所以在上递增，而，
所以当时，，不合题意；
若，即时，
当或时，，
当时，，
所以在上递增，在和上递减，
因为，
所以当且仅当，即，
所以当时，，
若，即时，，
由于
所以由可得，
所以当时，，
综上，的取值范围为；
证明：
，
则，
当时，，
所以在上递增，
所以，
所以，
所以，
令，则，
即，
所以，，
所以，即，
同理得，，，，
所以，
所以．
【解析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，再根据导数的正负可求出函数的单调区间；
将问题转化为恒成立，设，对函数求导，分，，三种情况讨论的最值，即可得解；
由题意得，求导后可判断在上递增，则，令，则，，然后利用累加法可证得结论．
本题考查导数的综合应用，考查利用导数讨论函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，第问解题的关键是利用导数判断出在上递增，则可得，然后令，转化为，，再给依次增加，得到个不等式相加可得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题．
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