2022-2023学年福建省晋江市平山学校、泉州中远学校、晋江市内坑中学、磁灶中学、永春二中高二（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
4. 甲、乙两校各有名教师报名支教，其中甲校男女，乙校男女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选名，则选出的名教师性别相同的概率是( )
A. B. C. D.
5. 曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
6. 小华为了研究数学名次和物理名次的相关关系，记录了本班五名同学的数学和物理的名次，如图，后来发现第四名同学的数据记录有误，那么去掉数据后，下列说法错误的是( )
A. 样本相关系数变大
B. 残差平方和变大
C. 变大
D. 解释变量与响应变量的相关程度变强
7. 若函数在处有极值，则( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，分别与直线交于点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设向量，若，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
10. 下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是( )
A. 相关变量，的线性回归方程为，若样本点中心为，则
B. 对于独立性检验，的值越大，说明两事件相关程度越大
C. 回归分析是对两个变量确定性关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系
D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
11. ，则( )
A.
B.
C.
D.
12. 已知，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是( )
A.
B. 若，则与独立
C. 若与独立，且，则
D. 若与独立，且，，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若为奇函数，则______．
14. 某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，学生需从这门课中选修门或门课，并且每类选修课至少选修门，则不同的选课方案共有______ 种用数字作答．
15. 某餐馆在网站有条评价，好评率为，在网站有条评价，好评率为综合考虑这两个网站的信息，这家餐馆的好评率为______ ．
16. 已知函数，则的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数，且．
求的解析式；
求曲线在处的切线方程．
18. 本小题分
某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得分，回答不正确得分．假设这名同学每题回答正确的概率均为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
Ⅰ求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；
Ⅱ求这名同学总得分不为负分即的概率．
19. 本小题分
一项试验旨在研究臭氧效应实验方案如下：选只小白鼠，随机地将其中只分配到实验组，另外只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量单位：实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
求只小鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
对照组 ______ ______
实验组 ______ ______
根据中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：，其中．
20. 本小题分
为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平某体质监测中心抽取了该校名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号
成绩分
记这名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算，，．
求；
经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全市抽查名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望．
附：若，则，，．
21. 本小题分
已知函数，．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ当时，证明．
22. 本小题分
经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．
表中
根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；给出判断即可，不必说明理由
某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有个鱼卵，其中“死卵”有个；第二批中共有个鱼卵，其中“死卵”有个现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出个鱼卵求取出“死卵”个数的分布列及数学期望．
附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
由题意可得，再根据交集的定义计算即可得答案．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以复数的虚部为．
故选：．
利用复数的乘法运算以及虚部的定义求解即可．
本题考查了复数的乘法运算以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：的展开式的通项公式为，
令，可得展开式中项的系数为，
故选：
先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：甲校的名教师记为，，，乙校的名教师记为，，，其中，，表示男教师，，，表示女教师，
若从甲校和乙校报名的教师中各任选名，所有可能的结果有：
，，，，，，，，，共计个，
选出的名教师性别相同的结果有，，，，共计个；
则选出的名教师性别的概率为．
故选：．
用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
本题考查了列举法求古典概型的概率问题，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：曲线，
则，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线的倾斜角为．
故选：．
利用导数的几何意义求解．
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线性回归方程，属于基础题．
根据散点图进行分析，利用相关系数、残差的意义即可判断．
【解答】
解：由散点图知，去掉后，与的线性相关程度变强，且为正相关，所以变大，变大，残差平方和变小．故ACD正确，B错误．
故选B．

7.【答案】
【解析】解：，得，
函数在处有极值，
则，，得到，解得或，
当，时，，
所以不是极值点，
当，时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以则在处取极小值，符合题意．
所以，，所以．
故选：．
先根据极值列方程组解得，值，再代入验证，即可求得的值．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：已知函数，分别与直线交于点，，
不妨设，，其中，且，
所以，
不妨设，
可得，
令，
解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以．
故选：．
由题意，表示出，两点的坐标和，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
9.【答案】
【解析】解：，，
由，得，解得．
故选：．
由已知直接利用向量共线的坐标运算列式求解．
本题考查向量共线的坐标运算，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，根据回归直线经过样本点中心可得，得，故A正确；
对于，根据独立性检验思想，的值越大，说明推断两事件无关出错的概率越大，
因此两事件相关程度越大，故B正确；
对于，回归分析是研究两个变量的相关关系，
而独立性检验是对两个变量之间的是否具有某种关系的一种检验，故C不正确；
对于，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D正确．
故选：．
根据回归直线经过样本点中心计算可得A正确；根据独立性检验思想，可得B正确；根据回归分析和残差图可知不正确；D正确．
本题主要考查线性回归方程，回归分析，独立性检验等相关知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
令，则，故A正确；
令，则，
则，故B错误；
令，则，
则，故D正确；
的展开式的通项公式为，
故，故C错误．
故选：．
采用赋值法即可判断，根据二项展开式的通项公式即可判断．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于：因为，当与相互独立时，
此时，由于无法确定，的大小关系，
故无法确定与的大小关系，故A错误；
对于：因为，则，
所以，即，所以与独立，故B正确；
对于：若与独立，则，
又，所以，则，即，故C正确；
对于：因为与独立，且，，
所以，则，
所以，故D错误．
故选：．
假设与相互独立得到，即可判断，根据条件概率公式及相互独立事件的概率公式判断、、．
本题主要考查了条件概率公式，考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，若为奇函数，
则，即，
当时，，
，为奇函数，符合题意，
故，
则；
故答案为：
根据题意，由奇函数的性质可得，分析可得的值，即可得函数的解析式，将代入其中，计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意奇函数性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：若选门，则只能各选门，有种，
如选门，则分体育类选修课选，艺术类选修课选，或体育类选修课选，艺术类选修课选，
则有，
综上共有种不同的方案．
故答案为：．
利用分类计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：这家餐馆的好评率为．
故答案为：．
利用平均数的定义求解．
本题主要考查了平均数的计算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：函数，则．
所以函数上单调递减，在上单调递增．
故在，即时，函数的最大值为．
故答案为：
首先利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值，进一步确定函数的最值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的导数的应用，主要利用函数的导数求出函数的单调区间，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
17.【答案】解：因为，且，所以，解得，
所以函数的解析式为．
由可知，；
又，
所以曲线在处的切线方程为，即．
【解析】先求导数，根据可求，进而可得答案；
先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，导数的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ的可能值为，，，．
，，
，，
所以的概率分布为

根据的概率分布，可得的期望
．
Ⅱ这名同学总得分不为负分的概率为．
【解析】由题意知这名同学回答这三个问题时可能三个题目都答对，答对两个、答对一个、答对个，所以总得分的可能取值是，，，根据变量对应的事件根据独立重复试验公式得到结果．
不得负分包括得和分，而得这两个分数这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．
本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实际问题的能力．这种题目高考必考，应注意解题的格式．
19.【答案】
【解析】解：依题意，的可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
故．
依题意，可知这只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第位与第位数据的平均数，
观察数据可得第位为，第位数据为，所以，
故列联表为：
合计
对照组
实验组
合计
，
所以依据小概率值的独立性检验，即认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可；
根据中位数的定义求得，根据题中数据，即可完成列联表；
计算，与题中数据比较，即可得出结论．
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
20.【答案】解：．
因为，
所以，．
因为，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间得概率约为，
故，
所以．
【解析】利用平均数公式计算即可；
计算出，得到，，利用所给条件得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为，得到，求出答案．
本题考查平均数的概念，正态分布的相关知识，二项分布期望，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ的定义域为，分
分
若，则当时，，故在上单调递减，分
若，则当，时，当时，，分
故在上单调递减，在上单调递增．
综上，若，在上单调递减，
若，在上单调递减，在上单调递增．分
Ⅱ证明：由Ⅰ知，当时，在处取得最小值，分
所以等价于，即分
设，则，分
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，分
故当时，取得极小值且为最小值，最小值为，分
所以当时，．
从而当时，，即分
【解析】Ⅰ求出导函数，对分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解；
Ⅱ由Ⅰ知，当时，在处取得最小值，所以原不等式可转化为，设，利用导数求出的最小值大于等于即可得证．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：由散点图的分布可知，样本点分布在一条指数函数的周围，
所以适宜作为与之间的回归方程模型；
令，则，
，，
故，
所以关于回归方程为；
由题意可知，的取值为，，，
设“所取两个鱼卵来自第批”，
所以，
设“所取两个鱼卵有个”“死卵”，
，
，
，
所以死卵个数的分布列为：
．
【解析】根据已知条件，结合换元法，以及最小二乘法，即可求解；
根据已知条件，的取值为，，，再结合全概率公式，依次求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列，以及期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
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