2022-2023学年陕西省咸阳市秦都区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 蜜蜂的蜂房既坚固又省料，厚度约为米，数据用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
2. 如图，，，垂足分别为、，线段的长度是( )
A. 点到的距离
B. 点到的距离
C. 点到的距离
D. 点到的距离
3. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
4. 如图，下列关于图中角与角的位置关系，描述错误的是( )
A. 与是对顶角
B. 与是同位角
C. 与是内错角
D. 与是同旁内角
5. 已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则与之间的关系式为( )
A. B. C. D.
6. 如图，，一副三角尺按如图所示放置，，，，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7. 观察下列等式：，，，由此可得：若
，则的值是( )
A. B. C. D.
8. 某天早晨，小明骑车上学途中，自行车突然“爆胎”，恰好路边有便民服务点几分钟后车修好了，他加快速度骑车到校如图，我们根据小明的这段经历画出图象全程，该图描绘了小明所行路程千米与他所用的时间分钟之间的关系下列说法错误的是( )
A. 小明家到学校的距离是千米 B. 小明修车用了分钟
C. 小明骑车的总时间是分钟 D. 小明修车前后骑车的速度相同
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 计算： ______ ．
10. 如图，小强要从村庄去村外的河边放马，有三条路、、可走，其中与河边垂直，这几条路中，沿着______ 过去路线最短．
11. 如图，漏刻是我国古代的一种计时工具据史sj 载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对数学思想的创造性应用小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位与时间满足某种确定的关系下表是小明记录的部分数据，则当为时，对应的时间为______ ．
12. 如图，现给出下列条件：，，，，，能够得到的条件是______ 填序号
13. 如图，张长为，宽为的长方形纸片，按图中的方式拼成一个边长为的正方形，用含、的代数式表示图中空白部分的面积为______ 化为最简形式
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. 本小题分
计算：．
15. 本小题分
计算：．
16. 本小题分
已知一个锐角的余角比这个锐角的补角的小，求这个锐角的度数．
17. 本小题分
如图，点在上，利用尺规作图法在上求作一点，使得不写作法，保留作图痕迹
18. 本小题分
温度的变化，是人们经常谈论的话题，如图是某地某天温度变化情况的图象．
请你根据图象，解答下列问题：
早晨时的温度是多少？时呢？
这一天的最高温度是多少？从最低温度到最高温度经过了多少时间？
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
20. 本小题分
如图，已知与互为余角，，且平分，求的度数．
21. 本小题分
如图，在梯形中，，，高，点为边上的动点，连接，当的长度由小到大变化时，四边形的面积也随之发生变化．
若设，四边形的面积为，求与之间的关系式；
当时，求四边形的面积．
22. 本小题分
有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．
例若，，试比较、的大小．
解：设，
那么，．
因为，所以．
看完后，你学到了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题：
若，，试比较、的大小．
23. 本小题分
如图，直线和直线相交于点，平分．
若，求的度数；
若：：，求的度数．
24. 本小题分
心理学家研究发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间分钟之间有如下关系：的值越大，表示接受能力越强
提出概念所用的
时间分钟
对概念的接受能力
根据以上信息，回答下列问题：
在表中描述的变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？
当提出概念所用的时间为分钟时，学生的接受能力约是多少？
当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？
在什么时间范围内，学生对概念的接受能力在逐渐增强？在什么时间范围内，学生对概念的接受能力在逐渐减弱？
25. 本小题分
如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化。
求长方形地块的面积；用含，的代数式表示
求修建雕像的小长方形地块的面积；用含，的代数式表示
当，时，求绿化部分的面积。
26. 本小题分
如图，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点，且．
求证：；
点为射线不与重合上一点，为射线不与，重合上一点，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指整数数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．根据点到直线的距离的定义可得答案．
【解答】
解：因为，垂足为，
所以线段的长度是点到的距离，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：和是对顶角，原说法正确，
故此选项不符合题意；
B.与是同位角，原说法正确，
故此选项不符合题意；
C.与是内错角，原说法正确，
故此选项不符合题意；
D.和是邻补角，原说法错误，
故此选项符合题意；
故选：．
根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义进行判断即可．
本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，理解同位角、内错角、同旁内角、对顶角的意义是正确判断的前提，掌握“三线八角”的意义和位置关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，
故选：．
运用长方形周长计算公式进行变形、推导．
此题考查了实际问题中函数解析式的求解能力，关键是能准确理解并运用函数的定义，结合题意列出长方形的周长、长和宽之间的关系式并化简．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
结合已知条件易求得的度数，再利用平行线性质求得的度数，然后利用三角形内角和定理求得的度数，最后利用角的和差即可求得答案．
本题主要考查三角形的内角和定理及平行线性质，结合图形及已知条件得出角的和差关系是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据题意得：，即，
解得：，
则原式．
故选：．
根据题意确定出一般性规律，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由图象可知，
小明家到学校的距离是千米，故选项A说法正确，不符合题意；
小明修车用了：分钟，故选项B正确，不符合题意；
小明骑车的总时间是：分钟，故选项C确，不符合题意；
小明修车前的速度为千米分钟，小明修车后的速度为千米分钟，
所以小明修车前后骑车的速度不相同，选项D说法错误，符合题意．
故选：．
根据函数图象，结合“速度路程时间”逐一判断即可．
本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，解题的关键是准确识图，从图象获取必须的信息．
9.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，两者的运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10.【答案】
【解析】解：如图，小强要从村庄去村外的河边放马，有三条路、、可走，其中与河边垂直，这几条路中，沿着过去路线最短，
故答案为：．
根据垂线段最短，即可解答．
本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设水位与时间的一次函数关系式为，
代入表中数据得，
解得，
水位与时间的一次函数关系式为；
当时，，
解得．
故答案为：．
设水位与时间的关系式为，用待定系数法求出解析式即可．
本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，
故不符合题意；
，
，
故符合题意；
，
，
故符合题意；
，
，
故不符合题意；
，
，
故符合题意；
故答案为：．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：图中空白部分的面积为：．
故答案为：．
利用三角形面积公式可用含、的代数式表示图中空白部分的面积．
本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
14.【答案】解：
．
【解析】直接利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了有理数的乘方运算、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
15.【答案】解：
．
【解析】利用单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可．
本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】解：设这个锐角的度数为，
那么它的余角为，其补角为，
由题意可得，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
即这个锐角的度数是．
【解析】设这个锐角的度数为，由题意列得方程后解方程即可．
本题主要考查余角和补角的定义，结合已知条件列得方程是解题的关键．
17.【答案】解：如图，点即为所求．

【解析】过点作交于点，根据同位角相等两直线平行得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
18.【答案】解：早晨时的温度是，时的温度是；
这一天的最高温度是，从最低温度到最高温度经过小时．
【解析】观察图象可求解
观察图象，可知最高温度为，时间为时，最低温度是；
本题考查了函数的图象，属于基础题，要求同学们具备一定的观察图象能力，能从图象中获取解题需要的信息．
19.【答案】解：
．
当，时，
原式．
【解析】根据完全平方公式、平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将、的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，关键是掌握整式的运算顺序以及整式的运算法则．
20.【答案】解：，互为余角，
，
即，
，
，
即，
平分，
，
．
【解析】由题意易得的度数然后根据角平分线定义求得的度数，再利用角的和差即可求得答案．
本题主要考查余角的定义及角平分线的定义，利用余角定义及已知条件求得的度数是解题的关键．
21.【答案】解：由于，
所以，，
即与之间的关系式为；
当时，即，
所以，
答：四边形的面积为．
【解析】根据四边形的面积的计算方法进行计算即可；
当可确定的值时，再代入函数关系式进行计算即可．
本题考查函数关系式，求函数的值，理解梯形、三角形面积的计算方法是解决问题的关键．
22.【答案】解：设，
则
，

，
所以．
【解析】设，利用题干中的方法将，用含的代数式表示，再利用多项式乘多项式和单项式乘多项式的法则化简后即可得出结论．
本题主要考查了多项式乘多项式，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
23.【答案】解：因为直线和直线相交于点，，
所以，
又因为平分，
所以；
因为：：，，
所以，，
又因为平分，
所以，
所以．
【解析】本题考查角的计算以及角平分线，观察图形找出角之间的关系是关键．
根据平角的定义以及角平分线的意义进行计算即可；
根据平角的定义求出，再根据角平分线的定义求出的大小，再由角的和差关系得出答案．
24.【答案】解：由表中数据可知：提出概念所用的时间是自变量，学生对概念的接受能力是因变量；
当时，，
提出概念所用的时间为分钟时，学生的接受能力约是；
当时，的值最大是，
提出概念所用的时间为分钟时，学生的接受能力最强；
在提出概念至分钟之间时，值随值逐渐增大而逐渐增大，学生对概念的接受能力逐渐增强，
在提出概念分钟至分钟之间时，值随值逐渐增大而逐渐减小，学生对概念的接受能力逐渐减弱．
【解析】利用图表中数据得出答案；
利用图表中数据得出答案；
利用图表中数据得出答案；
先根据图表可知：当时，的值最大是，在的左边，值逐渐增大，反之值逐渐减小，从而得出答案．
此题主要考查了函数的表示方法以及常量与变量，正确利用表格中数据得出结论是解题关键．
25.【答案】解：长方形地块的面积为：
平方米。
小长方形地块的面积为：
平方米。
绿化部分的面积为：
，
当，时，
原式
平方米。
【解析】根据长方形的面积公式进行求解即可；
根据长方形的面积公式进行求解即可；
结合可求得阴影部分的面积，再代入相应的值运算即可。
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握。
26.【答案】证明：平分，
，
，
，
；
当在线段上时，；当在线段的延长线上时，，证明如下：
，
．
，
．
．
如图，当在线段上时，
，
，
，
；
如图，当在线段的延长线上时，
，
，
．
【解析】因为平分，可得，利用内错角相等，两直线平行可得结论；
分在线段上和在的延长线上两种情形解答即可．
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质定理及分类思想的应用是解题的关键．
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