2022-2023学年湖南省长沙市长沙县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 化简的结果正确的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，数轴上点表示的实数是( )
A. B. C. D.
4. 若三条线段、、满足，这三条线段组成的三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断
5. 在中，，分别是边，的中点，若，则的长是( )
A. B. C. D.
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 在圆锥体积公式中其中，表示圆锥底面半径，表示圆锥的高，常量与变量分别是( )
A. 常量是，变量是， B. 常量是，变量是，
C. 常量是，变量是，， D. 常量是，变量是，，，
8. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 函数，当时，的范围是( )
A.
B.
C. 或
D.
10. 阅读理解：设，，若，则，即已知，，且，则的值为( )
A. B. 或 C. 或 D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 的倒数是______ ．
12. 如图，在 中，交对角线于点，若，则的度数是______ ．
13. 已知菱形中，对角线，，则菱形的面积为______ ．
14. 方程的解为______ ．
15. 某中学举行班级合唱比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给八班的演唱打分情况如下表，从中去掉一个最高分和一个最低分，余下分数的平均分为最终得分，那么八班的最终得分是______ ．
分数分
评委位
16. 如图，折线为甲地向乙地国外长途视频的费用元与通话时间分钟之间的函数关系，则通话分钟应付费______ 元
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
．
18. 本小题分
解方程：；
．
19. 本小题分
如图，四边形是矩形，对角线、相交于点，交的延长线于点求证：．
20. 本小题分
我县某初中举办“课外读物知识竞赛”，八年级和七年级组根据初赛成绩各选出名选手组成组代表队参加全县的决赛，两个年级各选出名选手的决赛成绩如图所示：
平均分分 中位数分 众数分 方差
八年级
七年级
根据图示，填写 ______ ， ______ ；
结合两个年级成绩的平均数和中位数进行分析，哪个年级的决赛成绩较好？
计算八年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定参考公式：方差
21. 本小题分
如图，地面上放着一个小凳子与地面平行，点到墙面墙面与地面垂直的距离为在图中，一木杆的一端与墙角重合，另一端靠在点处，．
求小凳子的高度；
在图中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度．
22. 本小题分
某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为元，原计划以每个元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量个与每个排球降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
求与之间的函数关系式；
在这次排球销售中，该文具店获利元，这种排球每个的实际售价多少元？
23. 本小题分
如图，在 中，，交于点，点，在上，．
求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是菱形．
24. 本小题分
如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．
填空： ______ ； ______ ； ______ ；
在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由：
若动点在射线上从点开始以每秒个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒是否存在的值，使和的面积比为：？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
25. 本小题分
定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______ ；
A.平行四边形矩形菱形正方形
性质探究：如图，四边形是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形对角线的两条结论；
问题解决：如图，为锐角三角形，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，求证：四边形是“中正四边形”．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件得到，解之即可求出的取值范围．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
根据计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：．
3.【答案】
【解析】解：由题意可得，点到原点的距离为：，
则数轴上点表示的实数是，
故选：．
利用勾股定理求得点到原点的距离即可求得答案．
本题考查实数与数轴的关系及勾股定理，利用勾股定理求得点到原点的距离是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
则这三条线段组成的三角形是直角三角形，
故选：．
根据勾股定理的逆定理即可求得答案．
本题考查勾股定理的逆定理，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5.【答案】
【解析】解：根据题意画出图形如图示，
、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
，
．
故选：．
由、分别是边、的中点可知，是的中位线，根据中位线定理可知，．
本题考查了中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了根的判别式，正确掌握根的判别式是解题的关键．
直接利用根的判别式进而得出的取值范围．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由圆锥体积公式中其中，表示圆锥底面半径，表示圆锥的高，
可知：常量是，变量是，，．
故选：．
根据圆锥体积公式中其中，表示圆锥底面半径，表示圆锥的高，即可得常量与变量．
本题考查了常量与变量、认识立体图形，解决本题的关键是掌握常量与变量的概念．
8.【答案】
【解析】解：一次函数的图象经过二、三、四象限，
，
，
故选：．
根据一次函数的图象经过二、三、四象限判断出的取值范围即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在二、三、四象限．
9.【答案】
【解析】解：由图象可知：当时，的图象落在图象的下方，即，
所以当时，的范围是．
故选：．
由图象可知：函数与的图象交于点，，的图象落在图象下方的部分对应的的取值范围即为所求．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量，坐标与图形性质，解题的关键是根据平面向量垂直的定义得到关于的方程．
根据向量垂直的定义列出关于的方程，通过解该方程求得的值即可．
【解答】
解：，，且，
，即．
整理，得
．
解得，
故选B．
11.【答案】
【解析】解：，
的倒数为：．
故答案为：．
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数的定义，正确把握倒数的定义是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由四边形是平行四边形，推出，推出，由，推出，根据计算即可．
本题考查平行四边形的性质，垂线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：菱形的对角线，，
菱形的面积为：．
故答案为：．
由菱形的对角线，，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形的面积．
此题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于其对角线积的一半的应用是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
则，
，
则，
故答案为：．
先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
15.【答案】分
【解析】解：由题意知，最高分和最低分为，，
则余下的分数的平均数分．
故答案为：分．
先去掉一个最低分去掉一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可．
本题考查了加权平均数，关键是根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式．
16.【答案】
【解析】解：根据图象可知点、点坐标分别为：、，
设直线的解析式为：，
则有：，
解得，
则直线的解析式为：，
当分钟时，元，
故答案为：．
先根据图象得出点、点坐标，再根据点、点坐标求出直线的解析式，令，即可作答．
本题考查了求解一次函数解析式、一次函数的应用等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先根据二次根式的乘除法化简二次根式，再进行合并即可；
先计算乘法，然后化简各式再进行合并即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
18.【答案】解：，
或，
解得，；
，
，即，
则，
，
即，．
【解析】利用直接开平方法求解可得；
利用配方法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，
．
【解析】根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形是平行四边形是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，
八年级的成绩分出现了次，出现的次数最多，
，
故答案为：，；
两队的平均成绩相同，而八年级的中位数较大，因而八年级的决赛成绩较好；
八年级决赛成绩的方差，
八年级的方差是，七年级的方差是，，
八年级代表队选手成绩较为稳定．
根据平均数、众数的定义即可得出答案；
首先比较平均数，然后根据中位数的大小判断；
先求出八年级的方差，再根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
此题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
21.【答案】解：过作垂直于墙面，垂足，
根据题意可得，，
在中，，
即凳子的高度为．
延长交墙面于点，可得，
设，则，，，
在中，，即，
解得，则．
【解析】过作垂直于墙面，垂足，根据勾股定理解答即可；
延长交墙面于点，根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理解答．
22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
．
答：这种排球每个的实际售价是元．
【解析】根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式；
利用总利润每个排球的销售利润销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：利用待定系数法，求出与之间的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】证明：在 中，，，
．
，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
【解析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．
24.【答案】
【解析】解：直线：与轴交于点，且经过定点，
，
，
直线：，
直线：经过点，
，
，
把代入，得到．
，，．
故答案为：；；；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则的周长最小．
，，
直线的解析式为，
令，得到，
．
存在一点，使的周长最短；
点在射线上从点开始以每秒个单位的速度运动，直线：，
，
，
，
点的运动时间为秒，
，
分两种情况：点在线段上，
和的面积比为：，
，
，
，
；
点在线段的延长线上，
和的面积比为：，
，
，
，
，
综上：存在的值，使和的面积比为：，的值为或．
利用待定系数法求解即可．
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则的周长最小．求出直线的解析式，即可解决问题．
，，分两种情况：点在线段上，解得；点在线段的延长线上，解得．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25.【答案】
【解析】解：根据中正四边形的概念知，正方形一定是“中正四边形”，
故答案为：；
性质探究：四边形是“中正四边形”，
四边形是正方形，
，且，
且，且，
，；
问题解决：如图，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，
四边形各边中点分别为、、、，
、、、分别是、、、的中位线，
，，，，，，，，
，，，，
四边形是平行四边形，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
又，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
又，，
，
是菱形，
，
，
又，，
，
，
又，，
，
菱形是正方形，
即原四边形是“中正四边形”．
根据中正四边形的概念得出结论即可；
根据三角形中位线的性质得出结论即可；
先根据三角形中位线的性质证四边形是平行四边形，再证≌，得出四边形是菱形，然后得出四边形是正方形即可得证结论．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定，正方形的判定等知识是解题的关键．
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