人教版九年级上册数学第一次月考试题
一、选择题。（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+3x+y=0 B．
C． = D．x2++5=0
2．关于的一元二次方程有一个根为0，则值为（ ）
A．2或-2 B．2 C．-2 D．以上答案都不对
3．将二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位长度后得函数为（ ）
A． B．
C． D．
4．将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+4）2＝3 C．（x+2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣5
5．二次函数的顶点是（ ）
A．(－1，2) B．(1，－2) C．(－1，－2) D．(1，2)
6．一元二次方程，该方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
7．已知函数的图象上两点A(1，)与B(－3，)，则正确的是（ ）
A． B． C．n ＜m D．无法确定
8．某次球赛共有个队参加，每两个队之间打一场比赛，共打了176场，则根据题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图为二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象，则下列说法：①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④ 当-10 其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与x轴交于点（﹣1，0），（1，0），与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B、C两点，则下列结论中，不正确的是（　　）
A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形
B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两个角为45°
C．存在实数k，使得△ABC为直角三角形
D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形
二、填空题。（每小题3分，共18分）
11．以原点为顶点且经过点(6，3)的抛物线的解析式是____________
12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________．
13．已知关于x一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为1，则a+b+c＝_____．
14．若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2019的值为_____．
15．某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s) 之间的函数关系式是，该飞机着陆后需滑行_____s才能停下来．
16．若函数的图像经过原点，最大值为16，且形状与抛物线相同，则此函数的关系式为___________
三、解答题
17．（10分）用适当方法解方程
（1） （2）
18．（10分）若某抛物线的顶点坐标为(-2,3)且图像经过点，
（1）求此抛物线的表达式；
（2）试判断点(3，20)是否在函数图像上．
19．（8分）十八世纪，古巴比伦泥板书上有这样一个问题：“一块矩形田地面积为55，长边比短边多6，问长边多长？”请用一元二次方程的知识解决这个问题.
20．（12分）已知抛物线y=2x2﹣4x﹣6．
（1）求抛物线y=2x2﹣4x﹣6与x轴的交点坐标．
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的草图(写出开口方向、对称轴、顶点坐标，不用列表)；
（3）根据图像回答：当x取何值时，y随x的增大而减少？
（4）根据图像回答：当x取何值是，y＜0？
21．（10分）若关于的一元二次方程有两个实数根、，
（1）求的取值范围；
（2）当时，求的值．
22．（10分）某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调 查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．
（1）10000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价为多少元？
（2）直接写出售价在什么范围内商家就可以获得利润．
23．（10分）如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtABC和 RtBED 的边长，已知，这时我们把关于 x 的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”，必有实数根；
(3)若 x 1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6，求ABC 的面积．
24．（10分）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）直接写出A点B点坐标及抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点，若将（1）中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
25．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:过点M(4,4)．
（1）求c与a的关系．
（2）当时，平移抛物线C得到新的抛物线仍过点M,并且对于上任意的两点T()，S()，当>>0时，总有 ，当<<0时，总有
①求抛物线解析式．
②若A、B是抛物线C’上不同的两点，记直线AM:；直线BM:；直线AB:，当时，求证：k为定值
参考答案
1．C
【分析】
根据一元二次方程的定义可直接判断出选项．
【详解】
A选项有两个未知数，故不正确；
B选项没有说明二次项前面的系数不等于零，故不正确；
C选项化简完之后为，故正确；
D选项含有分式，故不正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
2．C
【分析】
先把x＝0代入方程求出n的值，再利用一元二次方程的定义确定n的值．
【详解】
解：把代入方程得，
解得或，
而，即，
所以的值为-2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．D
【分析】
根据函数图象平移的规则：横坐标“左加右减”，即可解答．
【详解】
解：∵二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位长度，
∴平移后的函数解析式为，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象的平移，解答的关键是熟练掌握平移规则：横坐标“左加右减”，纵坐标“上加下减”．
4．A
【分析】
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】
∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x= 1，
∴x2+4x+4= 1+4，
∴(x+2) 2=3.
故选A.
【点睛】
此题考查解一元二次方程-配方法，掌握运算法则是解题关键
5．D
【分析】
根据y=a（x-h） +k 抛物线的顶点P（h，k）进行判断．
【详解】
的顶点是（1，2）．
故选：D．
【点睛】
考查了求二次函数的顶点坐标，解题关键是熟记据y=a（x-h） +k 抛物线的顶点P（h，k）．
6．B
【详解】
解：
∵c＜0
∴16-4c＞0
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B
7．B
【分析】
把x=1，x=3分别代入求出相应的y的值，即可得到m、n的大小．
【详解】
解：∵抛物线，且A点坐标为(1，)，B点坐标为(－3，)，
∴当x=1时，y=-（1+1）2+2=-2，即n=-2；
当x=-3时，y=-（-3+1）2+2=-2，即m=-2；
∴m=n
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．A
【分析】
设有x个队参赛，根据参加一次球赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛176场，可列出方程．
【详解】
解：设有x个队参赛，
x(x-1)=176．
故选：A
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
9．C
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断-1＜x＜3时，y的符号．
【详解】
①由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，可知a＜0，故错误；
②由二次函数与x轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0），可知对称轴为x==1，即-=1，
因此可得b=-2a，即2a+b=0，故正确；
③由函数的顶点在第一象限，因此可知，当x=1时，y=a+b+c＞0，故正确；
④由二次函数与x轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0），图象开口向下，因此当-1＜x＜3时，y＞0，故正确．
共3个正确的．
故选C.
10．D
【分析】
令 可求出点A的坐标，然后移动直线 与抛物线交于B,C两点，对照选项逐一进行判断即可.
【详解】
解：如图，
点A为二次函数图象的顶点，当AB＝AC时，直线y＝kx平行于x轴，即k＝0，此时△ABC为等腰直角三角形，不是等边三角形，故选项D不符合题意．
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的结合，利用数形结合的思想是解题的关键.
11．
【分析】
根据题意可设抛物线的解析式，将点(6，3)代入即可求解．
【详解】
解：根据题意可设抛物线的解析式
将点(6，3)代入上式可得：
解得：
∴抛物线的解析式
【点睛】
本题主要考查待定系数法求解析式，解题的关键是熟练应用待定系数法，正确设出抛物线解析式．
12．1
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式△＝0列式计算即可．
【详解】
解：依题意，有：且，
解得，
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式△的关系是解答此题的关键，在解答此题时要注意m≠0这一隐含条件．
13．0．
【详解】
试题解析：根据题意，一元二次方程ax2+bx+c="0" 有一个根为1，即x=1时，ax2+bx+c=0成立，
即a+b+c=0，
考点：一元二次方程的解．
14．2021
【分析】
利用一元二次方程解的定义得到2m2+3m =1,再把4m2+6m+2019变形为2(2m +3m)+2019,然后利用整体代入的方法计算
【详解】
∵m是方程2x2+3x﹣1＝0的根,
∴2m2+3m﹣1＝0
∴2m2+3m=1
∴4m2+6m+2019=2(2m +3m) +2019=21+2019 =2021
故答案为2021
【点睛】
此题考查一元二次方程解的定义，关键在于化简
15．180
【分析】
要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数的最大值，因此将函数化为顶点式即可．
【详解】
解：
所以当时，该函数有最大值180
故答案为180．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键．
16．y=-4x2-16x或y=-4x2+16x．
【分析】
函数图象经过原点，可得等式ah2+k=0；已知最大值为16，可得k=16；根据抛物线形状相同可知a=-4，从而可求h．
【详解】
解：∵函数y=a（x-h）2+k的图象经过原点，
把（0，0）代入解析式，得：ah2+k=0，
∵最大值为16，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k=16，
又∵形状与抛物线y=-4x2+2x-3相同，
∴二次项系数a=-4，
把a=-4，k=16代入ah2+k=0中，得h=±2，
∴函数解析式是：y=-4（x-2）2+16或y=-4（x+2）2+16，
即y=-4x2-16x或y=-4x2+16x，
故答案为：y=-4x2-16x或y=-4x2+16x．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质及待定系数法求解析式．
17．（1），；（2），．
【分析】
（1）运用公式法求解即可；
（2）移项后，运用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）
这里a=1，b=-7，c=-1，
＞0
∴
∴，；
（2）
，
∴，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法以及公式法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（1）；（2）不在，理由见解析
【分析】
（1）根据题意直接设顶点式，再代入计算求解即可；
（2）直接将(3，20)代入（1）的解析式，观察等式是否成立即可．
【详解】
（1）由题意，设抛物线的表达式为：，
将代入得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：，
（2）当时，函数值，
∴点(3，20)不在函数图像上．
【点睛】
本题考查求二次函数的解析式，熟记二次函数解析式的三种常见形式，灵活选取适当的形式计算是解题关键．
19．11
【分析】
根据矩形的面积公式列式计算即可.
【详解】
解：设矩形长边为，短边为.
由题意得：，
解得：，（舍去）.
答：矩形长边为11.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键.
20．（1）（-1，0），（3，0）；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-8），图象见解析；（3）x＜1；（4）-1＜x＜3．
【分析】
（1）令y=0，求出一元二次方程2x2﹣4x﹣6=0的解即可；
（2）分别求出与y轴的交点坐标，对称轴，顶点坐标，画出函数图象即可；
（3）根据函数图象与二次函数的增减性解答；
（4）根据函数图象解答即可．
【详解】
解：（1）令y=0，2x2-4x-6=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以，抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
（2）∵a=2＞0，
∴抛物线的开口向上，
∵y=2x2-4x-6=2（x-1）2-8，
∴抛物线对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-8）；
令x=0，则y=-6，
所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，-6），
作出函数图象如图所示；
（3）x＜1时，y随x的增大而减少；
（4）由函数图象可知，当-1＜x＜3时，y＜0．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点问题，主要利用了二次函数的性质，二次函数图象的作法，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便．
21．（1）m≤；（2）m=-1．
【分析】
（1）根据关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2+1=0有两个实数根得到△=（2m-1）2-4（m2+1）=-4m-3≥0，求出m的取值范围；
（2）首先根据根与系数关系的关系得到x1+x2=1-2m，x1 x2=m2+1，然后得到，求出m的值即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根x1和x2，
∴△=（2m-1）2-4（m2+1）=-4m-3≥0，
∴m≤；
（2）由题意得x1+x2=1-2m，x1 x2= m2+1，
∵，
整理得 ，
∴m1=-1，m2=3，
∵由（1）知道m≤，
∴m=-1．
【点睛】
本题考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是把转化为关于m的一元二次方程，此题还要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△≥0，方程有两个实数根．
22．（1）不是，售价为65元时利润最大为12250元；（2）售价在大于30元小于100元可以获利．
【分析】
（1）设利润为y元，售价为x元，列出二次函数关系式，求出最大值即可；
（2）令（1）中二次函数为0，解得x的取值范围即可．
【详解】
解：（1）设利润为y元，售价为x元，由题意得：
，
即：，
∵二次函数中＜0，
∴当时，二次函数有最大值，
即
答：10000元不是最大利润，当售价为65元时利润最大为12250元；
（2）令，即：，
解得：或，
由此可得：时，可获得利润，
答：售价大于30小于100元之间可获得利润．
【点睛】
本题考查的是二次函数在实际生活中的运用，熟练运用二次函数的性质以及图像的性质是解答本题的关键．
23．（1）(答案不唯一)（2）见解析（3）1.
【分析】
（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）根据根的判别式即可求解；
（3）根据方程的解代入求出a,b,c的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.
【详解】
（1）当a=3,b=4,c=5时，
勾系一元二次方程为；
（2）依题意得△=（）2-4ab=2c2-4ab,
∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根；
（3）把x=-1代入得a+b=c
∵四边形 ACDE 的周长是6，
即2(a+b)+ c=6，故得到c=2，
∴a2+b2=4，a+b=2
∵(a+b)2= a2+b2+2ab
∴ab=2,
故ABC 的面积为ab=1.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.
24．（1）A（-1，0），B（2，3），；（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°，理由见解析；（3）
【分析】
（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；
（3）根据抛物线平移以后的顶点可得平移后的解析式为，由抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，则，方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可．
【详解】
（1）∵点A是直线与轴的交点，
∴A点为（-1，0）
∵点B在直线上，且横坐标为2，
∴B点为（2，3）
∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥轴于点C，
∵A（-1，0）、B（2，3）
∴AC＝BC＝3，
∴∠BAC＝45°；
点M是抛物线的顶点，
∴M点为（0，-1）
∴OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°
∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°
∴△ABM是直角三角形．
（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为
∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点
∴
化简得：
∴＝＝
当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点，解得：，
∴．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法，直角三角形的判定，一元二次方程根的判别式，熟记基本的性质与运算公式是解题关键．
25．（1）；（2）①，②见解析．
【分析】
（1）把M点代入抛物线即可求解；
（2）①求出c的值，通过（1）求出a的值，分为两种情况求得的抛物线方程，求出平移后抛物线方程，代入M点求解即可；
②把A、B分别代入①所求得的抛物线方程，根据题意代入求解k值即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线C:过点M(4,4)，
∴，
即；
（2）①，解得：，
时，，抛物线方程为：，
时，，抛物线方程为：，
设平移后的方程设为：，
时，平移后方程为：，过M点，
将M代入得：，
解得：或，
此时平移后方程为：或，
时，平移后方程为：，过M点，
将M代入得：，
解得：原方程无解，
∵上任意的两点T()，S()，当>>0时，总有 ，当<<0时，总有，
∴是关于y轴对称的，且时y随x的增大而增大，时y随x的增大而减小，
∴，舍去，
故答案为：；
②设，，
∵A、B是抛物线C’上不同的两点，
∴，，将M点代入直线AM、BM可得：
，，
即，
∵，
∴，
，
又∵在AM、BM上，，，
∴，
，
解得：，
∴，
故k为定值-1．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数以及一次函数的性质及应用，熟练掌握一次函数和二次函数是解答本题的关键．
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