基础卷07
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知复数，若的共轭复数为，则（ ）
A． B．5 C． D．10
3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考期末）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是
5．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知的展开式中常数项为20，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023·上海嘉定·校考三模）已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）设各项均为实数的等差数列和的前n项和分别为和，对于方程①，②，③．下列判断正确的是（ ）
A．若①有实根，②有实根，则③有实根
B．若①有实根，②无实根，则③有实根
C．若①无实根，②有实根，则③无实根
D．若①无实根，②无实根，则③无实根
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·云南丽江·高三丽江市古城区第一中学校考阶段练习）下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）
A．的面积为 B．点的横坐标为2或
C．的渐近线方程为 D．以线段为直径的圆的方程为
11．（2023·山东潍坊·三模）如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（ ）

A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角为
C．该几何体的体积为 D．该几何体中，二面角的余弦值为
12．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）若为函数的导函数，数列满足，则称为“牛顿数列”.已知函数，数列为“牛顿数列”，其中，则（ ）
A．
B．数列是单调递减数列
C．
D．关于的不等式的解有无限个
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则 .
14．（2023·辽宁大连·统考一模）已知单位向量，的夹角为60°，若，则记作．已知向量，，则 ．
15．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 .
16．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是 .
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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基础卷07
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解绝对值不等式得A，根据交集的定义计算即可.
【详解】解得，即，B为奇数集，故.
故选：C
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知复数，若的共轭复数为，则（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【分析】利用复数运算法则和模长的性质计算即可.
【详解】.
故选：B
3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据扇形的弧长公式，和展开过程中的长度关系即可.
【详解】展开过程中：
,
,
故选：D.
4．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考期末）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是
【答案】A
【分析】由结合等差数列的前n项和公式可知数列为递增的等差数列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值为.
【详解】由，得，即，
所以数列为递增的等差数列.
因为，所以，即，
则，，所以当且时，；
当且时，.因此，有最小值，且最小值为.
故选：A.
5．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知的展开式中常数项为20，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】将三项式转化为二项式，求出通项公式求解即可.
【详解】，
其通项公式为：，
当时，，解得：.
故选：A.
6．（2023·上海嘉定·校考三模）已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数的图象，根据，利用数形结合法求解.
【详解】解：作出函数的图象，如图所示：

不妨设，
因为，
由函数的性质得，，即，
所以，
故选：D
7．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解
【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；
在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.
因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个，
所以所求的概率．
故选：A．
8．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）设各项均为实数的等差数列和的前n项和分别为和，对于方程①，②，③．下列判断正确的是（ ）
A．若①有实根，②有实根，则③有实根
B．若①有实根，②无实根，则③有实根
C．若①无实根，②有实根，则③无实根
D．若①无实根，②无实根，则③无实根
【答案】B
【分析】若①有实根，得到，设方程与方程的判别式分别为和，得到，结合举反例可以判断选项AB；通过举反例可以判断选项CD.
【详解】若①有实根，由题意得：，
其中，，
代入上式得，
设方程与方程的判别式分别为和，
则等号成立的条件是．
又，
如果②有实根，则，则或者，所以③有实根或者没有实根，如 满足，，但是，所以③没有实根，所以选项A错误；
如果②没实根，则，则，所以③有实根，所以选项B正确；
若①无实根，则，②有实根，则,
设，所以，，
此时，则③有实根，所以选项C错误；
若①无实根，则，②无实根，则,
设，所以，，
此时，则③有实根，所以选项D错误.
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是排除法的灵活运用，要证明一个命题是假命题，证明比较困难，只需举一个反例即可.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·云南丽江·高三丽江市古城区第一中学校考阶段练习）下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据奇函数的定义即可逐一选项求解.
【详解】对于A,的定义域为R,关于原点对称，而，为偶函数，
对于B,的定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，
对于C，的定义域为R，关于原点对称，且，为奇函数，
对于D,的定义域为R，关于原点对称，而，不是奇函数，
故选：BC
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）
A．的面积为 B．点的横坐标为2或
C．的渐近线方程为 D．以线段为直径的圆的方程为
【答案】AB
【分析】根据双曲线方程得a，b，c，由此可得渐近线方程和以为直径的圆的方程，由此即可判断C，D；联立渐近线与圆的方程，可求得坐标，由此即可判断A，B．
【详解】由双曲线方程知，，所以双曲线的渐近线方程为，故C错误；
又，所以为直径的圆方程为，故D错误；
由，得或，所以点的横坐标为2或，故B正确；
又，所以，故A正确．
故选：AB．
11．（2023·山东潍坊·三模）如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（ ）

A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角为
C．该几何体的体积为 D．该几何体中，二面角的余弦值为
【答案】AC
【分析】将该几何体还原为原正四面体，对A：直线与直线所成角即为MQ与QN所成角；对B：直线与平面所成角为QN与底面MNS所成的角；对C：该几何体的体积为大正四面体的体积减去4个棱长为1的小正四面体的体积；对D：二面角的大小与的大小互补.
【详解】
将该几何体还原为原正四面体，棱长为，设中心为O，连接OQ，ON，则,
对A：因为，所以直线与直线所成角即为MQ与QN所成角为，故A正确；
对B：直线与平面所成角为QN与底面MNS所成的角，即为所求角，，，故B错误；
对C：该几何体的体积为大正四面体的体积减去4个棱长为1的小正四面体的体积，，故C正确；
对D：二面角的大小与的大小互补，显然的大小为锐角，所以二面角的大小一定为钝角，故D错误.
故选：AC
12．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）若为函数的导函数，数列满足，则称为“牛顿数列”.已知函数，数列为“牛顿数列”，其中，则（ ）
A．
B．数列是单调递减数列
C．
D．关于的不等式的解有无限个
【答案】BCD
【分析】对函数求导，得出数列递推关系，构造等比数列，求出通项，根据数列的函数性质及不等式证明逐一判断各选项.
【详解】对于A，由得，所以，故A错误；
对于B，由得，，所以，数列是单调递减数列，故B正确；
对于C，，，由，得，
所以，所以，
令，则，
所以数列是公比为2的等比数列，又，，
所以，即，
所以，，即.
对于C，，
下面用数学归纳法证明：.
当时，，命题成立；
假设当时，命题成立，即；
当时，即，
，命题成立；
所以命题成立；
综上成立.
对于D，，因为，
所以，即，，所以不等式的解有无限个,故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是由和，构造等比数列，考查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于偏难题目.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则 .
【答案】/
【分析】根据奇函数的性质，结合题目中的函数解析式，可得答案.
【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，，
由，则.
故答案为：.
14．（2023·辽宁大连·统考一模）已知单位向量，的夹角为60°，若，则记作．已知向量，，则 ．
【答案】
【分析】由数量积公式计算，，再由模长公式计算.
【详解】因为
所以，
故答案为：
15．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据双曲线的对称性得四边形为平行四边形，再结合得为直角三角形，设直线倾斜角为，从而求得离心率，求解函数的值域即可得范围.
【详解】设双曲线的右焦点为，根据双曲线方程知，，则.
因为直线过原点，由对称性，原点平分线段，
又原点平分线段，所以四边形为平行四边形.
在和中，分别有中位线，，，
因为，所以，所以四边形为矩形，为直角三角形.
不妨设在第一象限，设直线倾斜角为，则，且，
在Rt中可得：，
所以，
因为，所以，
又在上为增函数，
所以.
故答案为：

16．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】问题转化为为射线与圆交点时，使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，则有，为圆半径，即可求范围．
【详解】由，即在上运动，而为圆上任意一点，
要使圆上存在一点使，
即过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为即可，
所以，只需为射线与圆交点时，使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，
如上图，上述两条垂线刚好与圆相切为满足要求的临界情况，
所以，只需，为圆半径，即，
又，故，可得.
故答案为：
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