绝密★启用前 7．某校从 4名女生和 2名男生中选 3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，
2022-2023 学年海南州中学第二学期高二期末考试 男生乙也被选中的概率为 （ ）
1 1 2 4
数 学（理） A． 2 B． C． D．5 5 5
2 8
满分：150 考试时间：120min 8．若离散型随机变量 X B n, ，且D X ，则 P X 2 3 （ ） 9
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 32 11 16 49A． B． C． D．
2．请将答案正确填写在答题卡上 81 27 27 81
第 I 卷（选择题 共 60 分） 9．已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB 2， AA1 4，点 E，F 分别是 B1C1和BB1的中点，
一.选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， M 是线段D1F的中点，则直线 AM和CE所成角的余弦值为 （ ）
只有一项是符合题目要求的）
1 2i
1．已知复数 z ，则 z的共轭复数为 （ ）
i
A． 2 i B． 2 i C． 2 i D．1 2i
2．在下列求导数的运算中正确的是 （ ）
1 1A． x
2
1 B． x cosx 2xsinx
x x 2

3 11 187 17
x 1 A． B． C． D．C． D． ln 2x 1
2 6 17 17 6
ex ex 2x 1
10．某校有A， B等五名高三年级学生报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，
3．用反证法证明“若a，b R，a b 0，则a，b至少有一个为 0”时，假设正确的（ ） 每人限报一所高校，每所高校均有人报考，其中A， B两名学生相约报考同一所高校，
A． a，b全不为 0 B．a，b全为 0 则这五名学生不同的报考方法共有 （ ）
C． a，b中至少有一个不为 0 D．a，b中只有一个为 0 A．9 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
4．已知 x 2,3,7 ， y 3,-4,8 ，则 xy可表示不同的值的个数为 （ ） 11．由数据 x ,y ， x ,y ，…， x6 , y6 可得 y关于 x1 1 2 2 的线性回归方程为 y 3x 2，若
A．8 B．12 6 6
xi 12，则 yi （ ）
C．10 D．9 i 1 i 1
7 A．48 B．52 C．56 D．80
1
5．二项式 x

的展开式中 x4的系数为 （ ）
x f x f x f xx 0 1 112．已知奇函数 的导函数为 ，当 时，f x 0，若 a f ( ),b ef ( e)，
x e e
A．-21 B．21 C．36 D．-36
c f 1 ，则 a,b,c的大小关系正确的是 （ ）
6．若函数 f (x) ax 3 3x 2 b 在 x 1处取得极值 2，则a b （ ）
A． a b c B．bA．-4 B．-3 C．-2 D．2
1
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}
第 II 卷（非选择题 共 90 分） 18．用适当的方法证明下列命题，求证：
2 2
二.填空题（本小题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上） （1） a b c
2 ab bc ac；（ a,b,c R）
2 1
13．随机变量 X N 5, ， P X 3 ，则 P 3 X 7 8 ______．
（2） 5 7 2 6
14．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第 100 个图形所用火柴
棒数为__________
19．某人工智能公司想要了解其开发的语言模型准确率是否与使用的训练数据集大小有
关联，该公司随机选取了大型数据集和小型数据集各 50 个，并记录了使用这些数据集训
练的模型在测试数据集上的准确率（准确率不低于 80%则认为达标），根据小型数据集的
15．由曲线 y x 2 2x与直线 y x围成的封闭图形的面积为___________．
准确率数据绘制成如图所示的频率分布直方图（各组区间分别为
16．已知函数 f (x)的导函数 f (x)的图象如图所示，给出以下结论： [50,60),[60,70),[70,80),[80,90)[90,100]）
大型数据集 小型数据集 合计
达标 30
不达标
①函数 f (x)在 ( 2, 1)和 (1, 2)是单调递增函数； 合计
②函数 f (x)在 x 0处取得极大值 f (0)；
③函数 f (x)在 x= 1处取得极大值，在 x 1处取得极小值；
(1)求 a的值，并完成下面的 2 2列联表；
④函数 f (x)在 ( 2,0)上是单调递增函数，在 (0,2)上是单调递减函数．
(2)试根据小概率值 0.005的独立性检验，能否认为语言模型准确率是否达标与使用的
则正确命题的序号是___________．（填上所有正确命题的序号）
训练数据集大小有关联？
三.解答题（本小题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤） 2 n(ad bc)
2
附：
z m2 5m 6 2 a bm 8m 15 i c d a c b d
其中 n a b c d
17． ， i为虚数单位，m为实数．
（1）当 z为纯虚数时，求m的值； 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
（2）当复数 z 8i在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围．
xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}
20．袋中有4个白球、 2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． f (x) 1 x322．已知函数 ax2 3x．
3
(1)若每次抽取后都放回，求恰好取到1个黑球的概率；
(1)若 f x 在点 1, f 1 处的切线与直线 y 4x 1平行，求实数 a的值；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为 X ，求 X 的分布列．
(2)当 a 1时，求函数 f x 的单调区间．
21．如图，三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面 AA1C1C与侧面C1B1BC均为边长为 2的正方形，
D、 E分别是 AB、BB1的中点，且 AB 2 2．
(1)证明： BC1 //平面 A1CD；
(2)求二面角D A1C E的正切值．
3
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}2022-2023 学年海南州中学第二学期高二期末考试
数 学（理）参考答案：
1．B
1 2i
【分析】将 z 化简，再由共轭复数得定义即可得到结果.
i
1 2i 1 1 i
【详解】 z 2 2 2 i，则
i i i i z 2 i
.
故选：B.
2．D
【分析】利用求导四则运算法则和简单复合函数求导法则计算，得到答案.

A x 1 【详解】 选项， 1
1
2 ，A错误； x x
B选项， x2cosx 2xcos x x2sinx，B错误；
C x
1 x
选项， ，C错误；
ex

ex
D选项， ln 2x 1 1 2x 1 2 ，D正确.2x 1 2x 1
故选：D
3．A
【分析】假设结论的反面成立即可，
【详解】结论的反面是： a,b全不为 0．
故选：A．
4．D
【分析】第一步先从集合 2,3,7 中取一个值，得到对应的情况数，第二步再从集合 3,-4,8
中取一个值，得到对应的情况数，两次的情况数相乘并分析结果，由此可知 x y可表示不同
的值的个数.
【详解】因为从集合 2,3,7 中任取一个值共有3种情况，从集合 3,-4,8 中任取一个值共
有3种情况，
故 x y可表示3 3 9个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，
所以 x y可表示不同的值有9个．
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}
故选：D.
5．A
【分析】求出二项式的通项公式，然后求展开式中 x4的系数即可.
7 1 7 r 3r 7 1
【详解】二项式 r x 的通项公式为：Tr 1 C7 x
r Cr 1 r x 27 .
x x
3r 7 5
所以令 4，解得 r = 5，所以展开式中 x4 的系数为C57 1 21.2
故选：A.
6．B
f 1 0
【分析】对函数 f x 求导可得 a,bf 1 2 ，即可求出 ，进而可求出答案 .
【详解】因为 f (x) ax 3 3x 2 b ，
f 1 3a 6 0
所以 f (x) 3ax2 6x，则
f 1 a 3 b 2
，
解得 a 2,b 1，所以 a b 3 .
故选：B
7．C
2
【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数 n C5 ，再求出在女生甲被选中的情
1
况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为m C4，结合条件概率的计算方法求解即可.
2
【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数 n C5 10，
1
在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为m C4 4，
m 4 2
则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为 P .
n 10 5
故选：C
8．B
2 8
【分析】根据 X B n, 且D X 求得 n，再由 P X 2 1 P X 3 求解.
3 9
X B n, 2 【详解】解：∵ ，
3
∴D X n 2 2 2n 8
3
1 ，解得 n 4，
3 9 9
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}
2 3 1 2 4P X 2 11∴ 1 P X 3 1 C 3 4 4 C 4 ．
3 3 3 27
故选：B．
9．C
【分析】建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，根据向量法求解即可.
【详解】如图
建立空间直角坐标系，则 A 2,0,0 ，D1 0,0, 4 ，C 0,2,0 ， E 1,2,4 ，F 2,2,2 ，

则M 1,1,3 ， AM 1,1,3 ，CE 1,0, 4 ，

则 cos AM ,CE
A M C E 1 12 187
AM CE 11 17 17 ，
187
所以异面直线 AM 和CE所成角的余弦值为 .
17
故选：C.
10．D
【分析】分报考三所高校的人数为 3:1:1和报考三所高校的人数为 2:2:1两种情况求解，然
后利用分类加法原理可求得结果.
1 3
【详解】若报考三所高校的人数为 3:1:1，则不同的报考方法有C3A3 18种.
2 3
若报考三所高校的人数为 2:2:1，则不同的报考方法有C3 A3 18种.
故这五名学生不同的报考方法共有 36种.
故选：D
11．A
【分析】根据回归直线方程必过样本中心 x, y 即可求出结果.
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}
6 5
【详解】因为 x 12i 12，所以 x 2，所以 y 6 2 8，所以 yi 6 8 48 .
i 1 6 i 1
故选：A.
12．D
【分析】令 g x xf x ，则 g x f x xf x ，根据题意得到 x 0时，函数 g x 单
调递增，求得 g e g 1 g(1)，再由函数的奇偶性得到b ef ( e) g e ，即可作出比
e
较，得到答案．
【详解】由题意，令 g x xf x ，则 g x f x xf x ，
f x
因为当 x 0时， f x 0，所以当 x 0时， f x xf x 0，
x
即当 x 0时， g x 0，函数 g x 单调递增，
因为 e 1
1
，所以 g e g 1 g(1)，
e e
又由函数 f x 为奇函数，所以 g x xf ( x) xf x g x ，
所以b ef ( e) g e ，所以b c a，故选 D．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据题意，构造
新函数 g x xf x ，利用导数求得函数 g x 的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查
了分析问题和解答问题的能力，属于难题．
3
13． /0.75
4
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可．
2
【详解】因为随机变量 X N 5, ，可得正态分布曲线的对称轴为 x 5，
P X 3 1又因为 ，
8
1 1 7
所以 P X 7 ， P(X 7) 1 ，
8 8 8
P 3 X 7 7 1 3所以 .
8 8 4
3
故答案为： .
4
14．201
【分析】分析图形中火柴数的变化是以 3位首项 2为公差的等差数列，由此可算第 100个图
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}
形所用火柴棒数.
【详解】由图形可知，第一个图形用 3个火柴，以后每一个比前一个多两个火柴，则第 n
个使用火柴为 2n +1，则第 100个图形所用火柴棒数为 2×100+1＝201.
故答案为：201
【点睛】本题考查合情推理的应用，属于基础题.
1
15．
6
【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为 (0,0)， (1,1)，结合图像可知围成的封
闭图形的面积.
【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为 (0,0)， (1,1)，
如图:
1
( x2 2x x)dx ( 1 x3 1
1
2
结合图像可知围成的封闭图形的面积为 x )
1
．
0 3 2 0 6
【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题.
16．②④
【分析】由图象可以看出在 ( 2,0)上 f (x) 0，在 (0,2)上 f (x) 0，从而可求出函数的单
调区间和极值点，进而可逐个分析判断.
【详解】由图象可以看出在 ( 2,0)上 f (x) 0，在 (0,2)上 f (x) 0，
所以 f (x)在 ( 2,0)上单调递增，在 (0,2)上单调递减，
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}
所以在 x 0处取得极大值 f (0)，
所以①③错，②④正确，
故答案为：②④.
17．共 10分
（1）m 2；（2） 1,2 3,7 .
【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于m的等式与不等式，进而可求得实数m的值；
（2）将复数 z 8i表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为正数、虚部为负数，可得
出关于实数m的不等式组，即可解得实数m的取值范围.
m2 5m 6 0
【详解】（1）由 z为纯虚数得 2 ，解得m 2；（5分）
m 8m 15 0
（2）复数 z 8i m2 5m 6 m2 8m 7 i，
m2 5m 6 0
因为复数 z 8i位于第四象限，所以 2 ，解得1 m 2或3 m 7．
m 8m 7 0
故m的取值范围为 1,2 3,7 . （10分）
【点睛】本题考查根据复数的概念与几何意义求参数，考查运算求解能力，属于基础题.
18．共 12分
（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由重要不等式及不等式性质即可证得结果；
（2）利用分析法逐步寻找不等式成立的充分条件，依次推理即可得出结果.
【详解】解（1）证明∵ a2 b2 2ab，b2 c2 2bc，a2 c2 2ac，
∴ 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac
即 a2 b2 c2 ab bc ac．
当且仅当“a b c ”时取得等号（6分）
（2）要证 5 7 2 6成立，
2
即证 5 7 24，即证 35 6，
即证35 36，
而35 36显然成立，
故 5 7 2 6成立；（12分）
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}
19．共 12分
(1)a 0.035，填表见解析
(2)认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联
【分析】（1）由频率之和可得 a 0.035，进而可得二联表，
（2）计算卡方即可与临界值比较求解.
【详解】（1）由10 0.01 0.025 a 0.02 0.01 1，解得 a 0.035．
准确率不低于80%的小型数据集有50 0.2 0.1 15个，由此可得列联表如下：
大型数据集 小型数据集 合计
达标 30 15 45
不达标 20 35 55
合计 50 50 100
（6分）
（2）零假设为H0：语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小无关联．
2 100 (30 35 20 15)
2 100
根据列联表中的数据，得到 9.091 7.879 x
50 50 45 55 11 0.005
，
根据小概率值 0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为语言模型准确率是否达标与
使用的训练数据集大小有关联．（12分）
20．共 12分
4
(1)
9
(2)答案见解析
【分析】（1）法一：根据古典概型的公式，求的总数和符合题意事件的个数，可得答案；
法二：根据独立重复实验的概率公式，先求一次实验的概率，可得答案.
（2）根据超几何分布的概念及其概率公式，可得答案.
【详解】（1）法一：有放回地抽取 3次，取法总数为6 6 6 216种，
设恰好取出一个黑球为事件A，
A中包含有3 2 4 4 96
96 4
种取法，所以 P(A) ．（5分）
216 9
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}
2 1
法二：抽取 1次取出黑球的概率为 ，
6 3
设连续抽取 3次中恰有 1次抽出黑球为事件A，
则 P(A)
1
C13 ( )
1 (2)2 3 1 4 4 ．
3 3 3 9 9
（2）从 6 3个球中任意取出 3个球的取法总数为C6 20， X 的取值范围是0,1, 2
0 3 1 2 2
P(X 0) C2C4 1 C C 3 C C
1 1
3 ， P(X 1)
2 4
3 ， P(X 2)
2 4
C6 5 C
，
6 5 C
3
6 5
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 1 3 1
5 5 5
（12分）
21．共 12分
(1)证明见解析
(2) 2
【分析】（1）连接 AC1交 A1C于点 F ，连接DF、 BC1，利用中位线的性质得出DF //BC1，
再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出 AC BC，CC1 平面 ABC，以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分
别为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求
得二面角D A1C E的正切值．
【详解】（1）证明：连接 AC1交 A1C于点 F ，连接DF、 BC1，
在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 //CC1且 AA1 CC1，故四边形 AA1C1C为平行四边形，
因为 AC1 A1C F，则 F 为 AC1的中点，
又因为D为 AB的中点，所以，DF //BC1，
因为DF 平面 A1CD，BC1 平面 A1CD，因此， BC1 //平面 A1CD .（6分）
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}
（2）解：因为三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面 AA1C1C与侧面C1B1BC 均为边长为 2的正方形，
则 AC BC 2，又因为 AB 2 2，所以， AC 2 BC 2 AB2 ，则 AC BC，
因为CC1 AC，CC1 BC，AC BC C，AC、BC 平面 ABC，所以，CC1 平面 ABC，
以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为 x、 y、 z轴建立如下图所示的空间直
角坐标系，
则点D 1,1,0 、 A1 2,0,2 、C 0,0,0 、 E 0,2,1 ，

设平面 A1CD的法向量为m x1, y1, z1 ，CA1 2,0,2 ，CD 1,1,0 ，

m

CA1 2x1 2z1 0
则
m
，取 x1 1，则m 1, 1, 1 ，
CD x1 y1 0

设平面 A1CE的法向量为 n x2 , y2 , z2 ，CE 0, 2,1 ，

n CA1 2x2 2z 2
0
则 ，取 x2 2，可得 n 2,1, 2 ，
n CE 2y2 z 2 0
2
所以， cos m,n
m
n 3 3
m n 3 3 3 ，则 sin m, n 1 cos
2 m, n 1 3 6 3
，
3
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}

sin m, n 6 3
故 tan m, n 2 ，
cos m, n 3 3
由图可知，二面角D A1C E为锐角，故二面角D A1C E的正切值为 2 .（12分）
22．共 12分
(1)1 (2)单调递增区间为 , 1 ， 3, ，单调递减区间为 1,3 .
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 f 1 4，代入计算可得；
（2）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.
1 3
【详解】（1）因为 f (x) x ax2 3x，所以 f (x) x 2 2ax 3 ，
3
因为 f x 在点 1, f 1 处的切线与直线 y 4x 1平行，所以 f 1 4，
即1 2a 3 4，解得 a 1 .（5分）
2 a 1 f (x)
1
x3（ ）当 时 x2 3x，则 f (x) x 2 2x 3 x 1 x 3 ，
3
令 f (x) 0，解得 x 1或 x 3，所以 f x 的单调递增区间为 , 1 ， 3, ，
令 f (x) 0，解得 1 x 3，所以 f x 的单调递减区间为 1,3 .（12分）
{#{QQABDQIAgggIAAIAARhCEQViCkOQkACAACgOhAAEoAAAyANABAA=}#}