武汉重点学校2020-2021学年度下学期期末考试
高一数学试卷
考试时长：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数（是虚数单位），则z的共轭复数（ ）
A． B． C．1 D．i
2．一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在内的频数为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
3．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
4．如图所示，空间四边形OABC中，，则的值是（ ）
A．0 B． C． D．
5．在中，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，O是三角形的外心，过点B作于点G，，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为3的正方形，面ABCD，，，若，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（ ）部分．
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，在长方体中，，以直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为 B．点关于点B对称的点为
C．点A关于直线对称的点为 D．点C关于平面对称的点为
11．2020年7月16日，国家统计局发布2020年上半年中国经济数据．数据显示，上半年，全国居民人均消费支出9718元，较2019年上半年全国人均消费支出10330元，下降约（不考虑价格因素），图1、图2分别为2019年上半年与2020年上半年居民人均消费支出构成，则下列说法正确的是（ ）
A．2020年上半年较2019年上半年人均生活用品及服务消费支出减少了
B．2019年上半年人均衣着消费支出和人均居住消费支出的总和超过了人均食品烟酒消费支出
C．2020年上半年较2019年上半年人均居住消费支出减少了
D．2020年上半年较2019年上半年人均教育文化娱乐消费支出比重降幅最大
12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列四个命题中正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．的面积为
C． D．的周长为
三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分。
13．样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7该组数据的第75百分位数是__________．
14．已知向量，则在上的投影向量的坐标为__________．
15．中，，则面积的最大值为__________．
16．已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，第一层抽取的样本量为4、样本平均数为4，样本方差为2，第二层抽取的样本量为6、样本平均数为3，样本方差为3，则总的样本方差为__________．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤。
17．已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
18．如图，在菱形ABCD中，．
（1）若，求的值；
（2）若菱形ABCD的边长为6，求下的取值范围．
19．如图所示，在三棱柱中，M为按的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面ABC，，求点B到平面的距离．
20．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
（1）求p和q的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率．
21．如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备、为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测没备，且满足，设．
（1）当，求四边形ABCD的面积；
（2）当为何值时，线段AC最长．
22．如图，在三棱台中，，N为DF的中点，二面角的大小为．
（1）证明：；
（2）当B为何值时，直线AD与平面BEFC所成角的正弦值为？
武汉重点学校2020-2021学年度下学期期末考试
高一数学试卷参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B B A B C B B BCD BC ABD ABD
13．7 14． 15． 16．2.84
17．解：（1）设，则，
为实数，，即．
为实数，
，则；
所以 5分
（2）由（1）得，
依题意得，解得．
∴实数m的取值范围是 10分
18．解：（1）， 因此，； 6分
（2）设，则，
所以，
． 12分
19．解：（1）证明：连接交于点D，连接DM，则D为的中点，
因为M为棱的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面． 6分
（2）由平面，所以点B到平面的距离等于点C到平面的距离，设所求距离为，由题意，因为平面，且M为棱的中点，
所以，
即，
所以，
又，
所以，
所以． 12分
20．解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则．
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则．
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，与相互互斥，所以
由题意可得
即解得或
由于，所以． 6分
（2）设{甲同学答对了i道题}， {乙同学答对了i道题}，．
由题意得，，．
设{甲乙二人共答对至少3道题}，则．
由于和相互独立，两两互斥，
所以
所以，甲乙二人共答对至少3道题的概率为． 12分
21．解：（1）在中，由余弦定理得，
所以．
所以四边形ABCD的面积， 5分
（2）由题得，
所以，
设，
所以，
所以
所以，
因为，
所以时，AC最长为． 12分
22．【答案】（1）证明见解析；（2）
（1）证明：取AC的中点M，连接NM，BM，
因为，则，
又因为，则，，
平面NBM，
平面NBM，
． 4分
（2）由（I）知，
二面角的平面角，
以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面BEFC的法向量为：，
，得．
令，则，
又，
设直线AD与平面BEFC所成角为，
则，
即化简得，
解得或．
由题意可知，
所以． 12分