2023年高考数学模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数的图象的一条对称轴为，将函数的图象向右平行移动个单位长度后得到函数图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线y2= 4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则 的最小值为（ ）
A． B． C．l D．1
3．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．21 B．22 C．11 D．12
5．已知是虚数单位，若，则（ ）
A． B．2 C． D．10
6．已知集合A={x|–11}，则A∪B=
A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）
7．等比数列的前项和为，若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ）
A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点
C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点
9．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知变量的几组取值如下表：
1 2 3 4
7
若与线性相关，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为______.
14．已知平面向量，的夹角为，且，则=____
15．不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__________.
16．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）当时，若恒成立，求的最大值；
（2）记的解集为集合A，若，求实数的取值范围.
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，曲线：（为参数）以原点为极点，轴正半轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）判断点与直线的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线与曲线的两个交点分别为，，求的值.
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
20．（12分）某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：
满意 不满意
男 40 40
女 80 40
（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：
支付方式 现金支付 购物卡支付 APP支付
频率 10% 30% 60%
优惠方式 按9折支付 按8折支付 其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾客按8折支付
将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为，求的分布列和数学期望．
附表及公式：．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．（12分）记为数列的前项和，已知，等比数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和.
22．（10分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据辅助角公式化简三角函数式，结合为函数的一条对称轴可求得，代入辅助角公式得的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数的解析式.
【详解】
函数，
由辅助角公式化简可得，
因为为函数图象的一条对称轴，
代入可得，
即，化简可解得，
即，
所以
将函数的图象向右平行移动个单位长度可得，
则，
故选：C.
【点睛】
本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.
2、A
【解析】
设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值.
【详解】
解：设点，则点，，
，
，
当时，取最小值，最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.
3、C
【解析】
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.
【详解】
因为正方形为朱方，其面积为9，
五边形的面积为，
所以此点取自朱方的概率为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.
4、A
【解析】
由题意知成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出的值.
【详解】
解：由为等差数列，可知也成等差数列，
所以 ，即，解得.
故选:A.
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.
5、C
【解析】
根据复数模的性质计算即可.
【详解】
因为，
所以，
，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.
6、C
【解析】
根据并集的求法直接求出结果.
【详解】
∵ ，
∴ ，
故选C.
【点睛】
考查并集的求法，属于基础题.
7、D
【解析】
试题分析：由于在等比数列中，由可得：，
又因为，
所以有：是方程的二实根，又，，所以，
故解得：，从而公比；
那么，
故选D．
考点：等比数列．
8、A
【解析】
根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.
【详解】
,，
,
又，,
平面,又平面
，
故在以为直径的圆上，
又是内异于的动点，
所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B
故选：A
【点睛】
本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.
9、A
【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.
【详解】
对于选项B, 为 奇函数可判断B错误;
对于选项C,当时, ,可判断C错误;
对于选项D, ,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;
故选:A.
【点睛】
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.
10、D
【解析】
连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案
【详解】
连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.
【点睛】
本题考查向量的线性运算问题，属于基础题
11、B
【解析】
求出，把坐标代入方程可求得．
【详解】
据题意，得，所以，所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值．
12、D
【解析】
根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.
【详解】
如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以渐近线方程为.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
基本事件总数，三人都收到礼物包含的基本事件个数．由此能求出三人都收到礼物的概率．
【详解】
三个小朋友之间准备送礼物，
约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），
基本事件总数，
三人都收到礼物包含的基本事件个数．
则三人都收到礼物的概率．
故答案为：．
【点睛】
本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
14、1
【解析】
根据平面向量模的定义先由坐标求得，再根据平面向量数量积定义求得；将化简并代入即可求得.
【详解】
，则，
平面向量，的夹角为，则由平面向量数量积定义可得，
根据平面向量模的求法可知，
代入可得，
解得，
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.
15、
【解析】
根据题意，分离参数，转化为只对于内的任意恒成立，令，则只需在定义域内即可，利用放缩法，得出，化简后得出，即可得出的取值范围.
【详解】
解：已知对于定义域内的任意恒成立，
即对于内的任意恒成立，
令，则只需在定义域内即可，
，
，当时取等号，
由可知，，当时取等号，
，
当有解时，
令，则，
在上单调递增，
又，，
使得，
，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力.
16、2025
【解析】
利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.
【详解】
依题意，令，解得，所以，则二项式的展开式的通项为：
令，得，所以的系数为.
故答案为：2025
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）当时，由题意得到，令，分类讨论求得函数的最小值，即可求得的最大值.
（2）由时，不等式恒成立，转化为在上恒成立，得到，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当时，由，可得，
令，则只需，
当时，；
当时，；
当时，；
故当时，取得最小值，即的最大值为.
（2）依题意，当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，
所以，即，即，
解得在上恒成立，
则，所以，
所示实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及不等式的恒成立问题的求解与应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.
18、（Ⅰ）点在直线上；见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）直线：，即，所以直线的直角坐标方程为，因为，所以点在直线上；
（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得.
【详解】
（Ⅰ）直线：，即，
所以直线的直角坐标方程为，
因为，
所以点在直线上；
（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），
曲线的普通方程为，
将直线的参数方程代入曲线的普通方程得，
设两根为，，所以，，
故与异号，
所以，
，
所以.
【点睛】
本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题.
19、（1）：，：；（2），此时.
【解析】
试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
20、（1）有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关； （2）67元，见解析.
【解析】
（1）根据表格数据代入公式，结合临界值即得解；
（2）的可能取值为40，60，80，1，根据题意依次计算概率，列出分布列，求数学期望即可.
【详解】
（1）由题得
，
所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.
（2）由题意可知的可能取值为40，60，80，1．
，，
，．
则的分布列为
40 60 80 1
所以，（元）．
【点睛】
本题考查了统计和概率综合，考查了列联表，随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
21、（1）（2）当时，；当时，.
【解析】
（1）利用数列与的关系，求得；
（2）由（1）可得：，，算出公比，利用等比数列的前项和公式求出.
【详解】
（1）当时，，
当时，
，
因为适合上式，
所以.
（2）由（1）得，，
设等比数列的公比为，则，解得，
当时，，
当时，.
【点睛】
本题主要考查数列与的关系、等比数列的通项公式、前项和公式等基础知识，考
查运算求解能力.
.
22、 (1)证明见解析；(2)
【解析】
（1）连接交于点，连接，通过证，并说明平面，来证明平面
（2）采用建系法以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，分别表示出对应的点坐标，设平面的一个法向量为，结合直线对应的和法向量，利用向量夹角的余弦公式进行求解即可
【详解】
证明：如图，
连接交于点，连接，点为的中点，点为的中点，
点为的重心，则，，，
又平面，平面，平面；
，，，，
，，可得，又，
则以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，由，
取，得．设直线与平面所成角为，
则．直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值公式使用广泛，需要识记