安徽省2023年百校联赢名校大联考一模数学试卷
一、单选题
1．（2023·安徽模拟）下列为负数的是（　　）
A． B． C．0 D．-1
2．（2023·安徽模拟）一根直尺和一个角的三角板按如图方式叠合在一起，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽模拟）2022年全国粮食总产量约13700亿斤，比上年增加73.6亿斤，这里“13700亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽模拟）估计的值在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6．（2023·安徽模拟）某人在甲、乙、丙、丁四个超市购买某品牌商品的总价和购买数量如图所示，按平均单价计算，购买该品牌商品最划算的超市是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2023·安徽模拟）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，点M是边的中点，连接，若，菱形的面积为48，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽模拟）在3×3网格中，把2个小正方形涂上灰色，把2个小正方形涂上黑色，如图，现在把剩下的小正方形中的一个小正方形涂上黑色，则正好能组成轴对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·安徽模拟）如图，在中，，点D在斜边上，连接，且，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点E，连接，取的中点F，连接．下列结论中错误的是（　　）
A．平分 B．
C．若，则 D．若，则
10．（2023·安徽模拟）如图，中，，，，点D是边上一动点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，点P在边上，连接，若，的面积为y，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023·安徽模拟）计算　 　．
12．（2023·安徽模拟）如图，四边形的对角线，相交于点O，若，，想要判断四边形是菱形，则可以添加一个条件是　 　．
13．（2023·安徽模拟）如图，中，，，，以为直径的交于点，则的长为　 　．
14．（2023·安徽模拟）已知二次函数（a是常数，且）．
（1）该二次函数图象的对称轴是　 　；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为　 　．
三、解答题
15．（2023·安徽模拟）先化简，后求值：，其中．
16．（2023·安徽模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成网格中，的顶点为格点（网格线的交点），直线l经过格点．
⑴画出关于直线l成轴对称的．
⑵将先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到，请画出．
17．（2023·安徽模拟）如图，为了测量东西走向的公路桥梁的长度，数学兴趣小组在公路桥南侧选定观测点C，测得A在C北偏西方向上，点B在C的北偏东方向上，若测得米．求公路桥梁的长（精确到1米）．（参考数据，，）．
18．（2023·安徽模拟）观察以下等式：
第1个等式；第2个等式；
第3个等式；第4个等式；……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
19．（2023·安徽模拟）点P在外，点A，C在上，连接分别交于点B，D
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若，求证：．
20．（2023·安徽模拟）已知，反比例函数和反比例函数如图所示．
（1）点A在反比例函数的图象上，过点A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点B，交y轴于点M，点P在x轴上，连接，求的面积；
（2）直线交反比例函数的图象于点C，交反比例函数的图象于点D，若，求n的值．
21．（2023·安徽模拟）每年的12月4日是我国的“宪法宣传日”，某中学都会在这一天举行宪法知识竞赛，并随机抽取了部分学生的竞赛成绩（优秀：85～100分；良好：70～84分；合格：60～69分；不合格：59分以下）进行调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共　 　名；a＝　 　；b＝　 　；并补全条形统计图　 　；
（2）本次调查的学生宪法知识竞赛成绩的中位数在哪个等次（直接写出结果）；
（3）若该校共有2800名学生，请估计该校这次宪法知识竞赛成绩在良好及以上等次的人数．
22．（2023·安徽模拟）如图，点在x轴上，点在y轴上，以为直角边作等腰直角，使，，且点C落在第一象限，二次函数的图象经过点B，C．
（1）试确定二次函数的表达式；
（2）已知点P是抛物线的对称轴上的一动点，且，求点P的坐标．
23．（2023·安徽模拟）如图，在矩形中，点P和点M是边上的两个动点（点P在点M的左侧）连接，若．
（1）求证：；
（2）已知，，
①若，求的长；
②若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：A、，是正数，故本选项不合题意；
B、，是正数，故本选项不合题意；
C、0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
D、-1是负数，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据比0小的数是负数对每个选项一一判断即可。
2．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A
【分析】根据图形先求出，再根据平行线的性质求出，最后计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：13700亿．
故答案为：B
【分析】 把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。 根据科学记数法的定义计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据题意得：有两面都是等腰三角形，一面为圆，可得此几何体是圆锥．
故答案为：C．
【分析】根据所给的三视图，结合选项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵16＜19＜25，
∴4＜＜5，
∴3＜-1＜4，
∴估计-1的值在3和4之间，
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出4＜＜5，再求出3＜-1＜4，最后求解即可。
6．【答案】C
【知识点】运用有理数的运算解决简单问题
【解析】【解答】解：由图象知，甲超市的平均单价为（元/千克），
乙超市的平均单价为（元/千克），
丙超市的平均单价为（元/千克），
丁超市的平均单价为（元/千克），
∵，
∴购买该品牌商品最划算的是丙超市，
故答案为：C．
【分析】根据总价=单价×数量，求出甲、乙、丙和丁的平均单价，再比较大小求解即可。
7．【答案】D
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
又，
，
解得，
，
，点O是的中点，点M是边的中点，
∴在与中，
，，
，
故答案为：D．
【分析】根据菱形的面积公式求出，再利用勾股定理，结合题意计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】轴对称图形；概率公式
【解析】【解答】根据题意，涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现5种等可能情况，
当涂黑左上角和右下角的正方形时正好能组成轴对称图形，只有2种是轴对称图形，
∴正好能组成轴对称图形：．
故答案为：A．
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据轴对称图形的定义判断求解即可。
9．【答案】B
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵的中点F，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DB平分∠ADF，A不符合题意；
∵，，
∴，C不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴选项D不符合题意；
由，
∴是的中线，不一定是上的高，
∴不一定为，
∴不一定相等，B符合题意；
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后结合图形判断求解即可。
10．【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】过点D作于M，过点B作于N，交于F，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，又，
∴函数图象是以直线为对称轴的抛物线，位于x轴上方的部分，
故答案为：C．
【分析】利用矩形的判定方法先求出四边形是矩形，再利用相似三角形的判定与性质求出，最后利用二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
11．【答案】-8
【知识点】0指数幂的运算性质；有理数的乘方
【解析】【解答】解：，
故答案为：-8．
【分析】利用零指数幂，有理数的乘方计算求解即可。
12．【答案】AB=AD（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
如果添加AB=AD，可以通过有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断四边形为菱形；
故答案为：AB=AD（答案不唯一）．
【分析】根据平行线的性质先求出，，再求出，最后判断求解即可。
13．【答案】π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的长为：，
故答案为：π．
【分析】利用锐角三角函数先求出，再求出，最后利用弧长公式计算求解即可。
14．【答案】（1）直线x=1
（2）-7
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
故答案为：直线x=1；
（2）当时，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值-7，即该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为-7．
故答案为：-7．
【分析】（1）结合二次函数的解析式，利用对称轴公式计算求解即可；
（2）先求出，再求出抛物线开口向下，最后判断求解即可。
15．【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再将x=-5代入计算求解即可。
16．【答案】解：⑴如图，即为所求；
⑵如图，即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据关于直线l成轴对称作三角形即可；
（2）根据平移的性质作三角形即可。
17．【答案】解：作于点H，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（米），
答：公路桥梁AB的长约为400米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先求出 ， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
18．【答案】（1）
（2）解：猜想：；
证明如下：
等式左边，
等式右边，
∴等式左边等式右边，
∴猜想成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由题意得，第5个等式为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据所给的等式找出规律，求出第5个等式为：，即可作答；
（2）观察等式，猜想 ，再证明即可。
19．【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，过点O分别作于M，于N．
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先求出 ，再根据∠P=30°计算求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
20．【答案】（1）解：如图，连接，
∵轴，
∴，，
∴，
∵轴，
∴；
（2）解：当时，，，，，
∴点C的横坐标为，点D的横坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先求出 ，， 再根据 轴， 求解即可；
（2）根据题意先求出点C和点D的横坐标，再根据CD=4，列方程求解即可。
21．【答案】（1）200；30；50；合格人数为200×15%=30
（2）解：本次调查的学生宪法知识竞赛成绩的中位数在“良好”等次；
（3）解：成绩在良好及以上等次的人数为（人）．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】(1)本次调查的学生共（人），
，故，
，故，
200；30；50；
(2)本次调查共200人，排序后，中位数是第100和101人的成绩的平均数，而成绩优秀的有60人，良好的有100人，故本次调查的学生宪法知识竞赛成绩的中位数在“良好”等次；
【分析】（1）根据统计图中的数据计算求解即可；
（2）根据中位数的定义判断求解即可；
（3）根据该校共有2800名学生，求出（人）即可作答。
22．【答案】（1）解：∵点，点，
∴，
过点C作轴于点D，
∴，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点C在第一象限，
∴点C坐标为，
∵二次函数的图象经过点B，C，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
设点P坐标为，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴点P坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用AAS证明 ，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数解析式先求出该二次函数图象的对称轴为直线， 再求出 ， 最后列方程求解即可。
23．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴设，则，
∴，
由（1）得，
∴，
解得，或（不合题意，舍去），
∴；
②连接并延长，交的延长线于点E．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出 ， 再利用勾股定理列方程求解即可；
②利用相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数计算求解即可。
安徽省2023年百校联赢名校大联考一模数学试卷
一、单选题
1．（2023·安徽模拟）下列为负数的是（　　）
A． B． C．0 D．-1
【答案】D
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：A、，是正数，故本选项不合题意；
B、，是正数，故本选项不合题意；
C、0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
D、-1是负数，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据比0小的数是负数对每个选项一一判断即可。
2．（2023·安徽模拟）一根直尺和一个角的三角板按如图方式叠合在一起，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A
【分析】根据图形先求出，再根据平行线的性质求出，最后计算求解即可。
3．（2023·安徽模拟）2022年全国粮食总产量约13700亿斤，比上年增加73.6亿斤，这里“13700亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：13700亿．
故答案为：B
【分析】 把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。 根据科学记数法的定义计算求解即可。
4．（2023·安徽模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据题意得：有两面都是等腰三角形，一面为圆，可得此几何体是圆锥．
故答案为：C．
【分析】根据所给的三视图，结合选项判断即可。
5．（2023·安徽模拟）估计的值在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵16＜19＜25，
∴4＜＜5，
∴3＜-1＜4，
∴估计-1的值在3和4之间，
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出4＜＜5，再求出3＜-1＜4，最后求解即可。
6．（2023·安徽模拟）某人在甲、乙、丙、丁四个超市购买某品牌商品的总价和购买数量如图所示，按平均单价计算，购买该品牌商品最划算的超市是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】运用有理数的运算解决简单问题
【解析】【解答】解：由图象知，甲超市的平均单价为（元/千克），
乙超市的平均单价为（元/千克），
丙超市的平均单价为（元/千克），
丁超市的平均单价为（元/千克），
∵，
∴购买该品牌商品最划算的是丙超市，
故答案为：C．
【分析】根据总价=单价×数量，求出甲、乙、丙和丁的平均单价，再比较大小求解即可。
7．（2023·安徽模拟）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，点M是边的中点，连接，若，菱形的面积为48，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
又，
，
解得，
，
，点O是的中点，点M是边的中点，
∴在与中，
，，
，
故答案为：D．
【分析】根据菱形的面积公式求出，再利用勾股定理，结合题意计算求解即可。
8．（2023·安徽模拟）在3×3网格中，把2个小正方形涂上灰色，把2个小正方形涂上黑色，如图，现在把剩下的小正方形中的一个小正方形涂上黑色，则正好能组成轴对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；概率公式
【解析】【解答】根据题意，涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现5种等可能情况，
当涂黑左上角和右下角的正方形时正好能组成轴对称图形，只有2种是轴对称图形，
∴正好能组成轴对称图形：．
故答案为：A．
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据轴对称图形的定义判断求解即可。
9．（2023·安徽模拟）如图，在中，，点D在斜边上，连接，且，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点E，连接，取的中点F，连接．下列结论中错误的是（　　）
A．平分 B．
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵的中点F，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DB平分∠ADF，A不符合题意；
∵，，
∴，C不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴选项D不符合题意；
由，
∴是的中线，不一定是上的高，
∴不一定为，
∴不一定相等，B符合题意；
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后结合图形判断求解即可。
10．（2023·安徽模拟）如图，中，，，，点D是边上一动点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，点P在边上，连接，若，的面积为y，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】过点D作于M，过点B作于N，交于F，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，又，
∴函数图象是以直线为对称轴的抛物线，位于x轴上方的部分，
故答案为：C．
【分析】利用矩形的判定方法先求出四边形是矩形，再利用相似三角形的判定与性质求出，最后利用二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
二、填空题
11．（2023·安徽模拟）计算　 　．
【答案】-8
【知识点】0指数幂的运算性质；有理数的乘方
【解析】【解答】解：，
故答案为：-8．
【分析】利用零指数幂，有理数的乘方计算求解即可。
12．（2023·安徽模拟）如图，四边形的对角线，相交于点O，若，，想要判断四边形是菱形，则可以添加一个条件是　 　．
【答案】AB=AD（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
如果添加AB=AD，可以通过有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断四边形为菱形；
故答案为：AB=AD（答案不唯一）．
【分析】根据平行线的性质先求出，，再求出，最后判断求解即可。
13．（2023·安徽模拟）如图，中，，，，以为直径的交于点，则的长为　 　．
【答案】π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的长为：，
故答案为：π．
【分析】利用锐角三角函数先求出，再求出，最后利用弧长公式计算求解即可。
14．（2023·安徽模拟）已知二次函数（a是常数，且）．
（1）该二次函数图象的对称轴是　 　；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为　 　．
【答案】（1）直线x=1
（2）-7
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
故答案为：直线x=1；
（2）当时，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值-7，即该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为-7．
故答案为：-7．
【分析】（1）结合二次函数的解析式，利用对称轴公式计算求解即可；
（2）先求出，再求出抛物线开口向下，最后判断求解即可。
三、解答题
15．（2023·安徽模拟）先化简，后求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再将x=-5代入计算求解即可。
16．（2023·安徽模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成网格中，的顶点为格点（网格线的交点），直线l经过格点．
⑴画出关于直线l成轴对称的．
⑵将先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到，请画出．
【答案】解：⑴如图，即为所求；
⑵如图，即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据关于直线l成轴对称作三角形即可；
（2）根据平移的性质作三角形即可。
17．（2023·安徽模拟）如图，为了测量东西走向的公路桥梁的长度，数学兴趣小组在公路桥南侧选定观测点C，测得A在C北偏西方向上，点B在C的北偏东方向上，若测得米．求公路桥梁的长（精确到1米）．（参考数据，，）．
【答案】解：作于点H，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（米），
答：公路桥梁AB的长约为400米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先求出 ， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
18．（2023·安徽模拟）观察以下等式：
第1个等式；第2个等式；
第3个等式；第4个等式；……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2）解：猜想：；
证明如下：
等式左边，
等式右边，
∴等式左边等式右边，
∴猜想成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由题意得，第5个等式为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据所给的等式找出规律，求出第5个等式为：，即可作答；
（2）观察等式，猜想 ，再证明即可。
19．（2023·安徽模拟）点P在外，点A，C在上，连接分别交于点B，D
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若，求证：．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，过点O分别作于M，于N．
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先求出 ，再根据∠P=30°计算求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
20．（2023·安徽模拟）已知，反比例函数和反比例函数如图所示．
（1）点A在反比例函数的图象上，过点A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点B，交y轴于点M，点P在x轴上，连接，求的面积；
（2）直线交反比例函数的图象于点C，交反比例函数的图象于点D，若，求n的值．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵轴，
∴，，
∴，
∵轴，
∴；
（2）解：当时，，，，，
∴点C的横坐标为，点D的横坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先求出 ，， 再根据 轴， 求解即可；
（2）根据题意先求出点C和点D的横坐标，再根据CD=4，列方程求解即可。
21．（2023·安徽模拟）每年的12月4日是我国的“宪法宣传日”，某中学都会在这一天举行宪法知识竞赛，并随机抽取了部分学生的竞赛成绩（优秀：85～100分；良好：70～84分；合格：60～69分；不合格：59分以下）进行调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共　 　名；a＝　 　；b＝　 　；并补全条形统计图　 　；
（2）本次调查的学生宪法知识竞赛成绩的中位数在哪个等次（直接写出结果）；
（3）若该校共有2800名学生，请估计该校这次宪法知识竞赛成绩在良好及以上等次的人数．
【答案】（1）200；30；50；合格人数为200×15%=30
（2）解：本次调查的学生宪法知识竞赛成绩的中位数在“良好”等次；
（3）解：成绩在良好及以上等次的人数为（人）．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】(1)本次调查的学生共（人），
，故，
，故，
200；30；50；
(2)本次调查共200人，排序后，中位数是第100和101人的成绩的平均数，而成绩优秀的有60人，良好的有100人，故本次调查的学生宪法知识竞赛成绩的中位数在“良好”等次；
【分析】（1）根据统计图中的数据计算求解即可；
（2）根据中位数的定义判断求解即可；
（3）根据该校共有2800名学生，求出（人）即可作答。
22．（2023·安徽模拟）如图，点在x轴上，点在y轴上，以为直角边作等腰直角，使，，且点C落在第一象限，二次函数的图象经过点B，C．
（1）试确定二次函数的表达式；
（2）已知点P是抛物线的对称轴上的一动点，且，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点，点，
∴，
过点C作轴于点D，
∴，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点C在第一象限，
∴点C坐标为，
∵二次函数的图象经过点B，C，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
设点P坐标为，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴点P坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用AAS证明 ，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数解析式先求出该二次函数图象的对称轴为直线， 再求出 ， 最后列方程求解即可。
23．（2023·安徽模拟）如图，在矩形中，点P和点M是边上的两个动点（点P在点M的左侧）连接，若．
（1）求证：；
（2）已知，，
①若，求的长；
②若，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴设，则，
∴，
由（1）得，
∴，
解得，或（不合题意，舍去），
∴；
②连接并延长，交的延长线于点E．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出 ， 再利用勾股定理列方程求解即可；
②利用相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数计算求解即可。