作业07：二元一次方程组-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】用整体思想①②，得，等式两边都除以6，得，再根据，从而计算出的值．
【详解】解：，
①②，得，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
2．若方程组的解也是方程的解，则的值是（　　）
A．6 B．10 C．9 D．
【答案】D
【分析】先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入，求解即可得到答案．
【详解】解：，
②①得：，
，
将代入①得：，
，
方程组的解为，
将代入得：，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
3．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】B
【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且均为整数，根据题意得，
，
整理得，，
①当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
②当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．
4．已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．
【详解】解：，
得，
，
代入，可得，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
5．刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学，计划用60元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本5元，则刘老师购买笔记本的方案共有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
【答案】D
【分析】设刘老师购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，根据题意列出二元一次方程，并结合均为非负整数，即可获得答案．
【详解】解：设刘老师购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，
根据题意可得，
∴，
∵均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题关键．
6．某同学打算花费27元钱购买2元和5元的两种学习用品，则他的购买方案有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【分析】设购买2元的学习用品数量为x，购买5元的学习用品数量为y，根据总费用是25元列出方程，求得非负整数x、y的值即可．
【详解】解：设购买2元的学习用品数量为x，购买5元的学习用品数量为y，
由题意可得：，
整理，得：，
因为x，y均为非负整数，
所以当时，．
当时，．
当时，．
即有3种购买方案．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用．对于此类问题，挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．然后根据未知数的实际意义求其符合题意的解是关键．
7．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为，若把甲钱数的三分之二给乙，则乙的钱数也为，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x，则下列说法错误的是（　　）
A．设乙持钱为y，依题意
B．依题意
C．乙的钱数为
D．甲、乙钱数的和为
【答案】B
【分析】设甲持钱为x，乙持钱为y或（），根据“若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为，若把甲钱数的三分之二给乙，则乙的钱数也为”列方程或方程组进行分析解答
【详解】解：设甲持钱为x，乙持钱为y或（），
根据题意，可列方程组：，或，故A不符合题意，B符合题意，
解得．
∴甲持钱为，乙持钱为，甲、乙钱数的和为，故C不符合题意，D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
8．为加快推动城市生态建设的步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，昆明市政府计划在某公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为，宽为，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少？设矩形地块四周道路的宽度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设矩形地块四周道路的宽度为，则草坪的长为，宽为，然后根据矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：设矩形地块四周道路的宽度为，则草坪的长为，宽为
由题意可得：．
故选D．
【点睛】本题主要考查了列方程，审清题意、找到等量关系是解答本题的关键．
9．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：牛六头，羊五只，共价四十五银；牛两头，羊七只共价三十一根．问牛、羊各价几何？题目大意是：6头牛，5只羊，共需45两银子；2头牛，7只羊共需31两银子，请问每头牛、每只羊价格是多少？若设每头牛x银子，每只羊y两银子，根据题意，可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设每头牛x银子，每只羊y两银子；根据等量关系“6头牛，5只羊，共需45两银子”和“2头牛，7只羊共需31两银子”即可列出二元一次方程组．
【详解】解：设每头牛x银子，每只羊y两银子．
由等量关系“6头牛，5只羊，共需45两银子”和“2头牛，7只羊共需31两银子”可得：
．
故选A．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、找到等量关系是解答本题的关键．
10．中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．30种
【答案】B
【分析】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，根据将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，列二元一次方程，求解即可．
【详解】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，由题意得
，
化简得，
∴，
∴当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
综上，有5种方案，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
二、填空题
11．某超市现有人在收银台排队等候结账，设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度固定，若同时开放2个收银台，则20分钟后可使排队人数为0；若同时开放3个收银台，则12分钟后可使排队人数为0，由此可知，收银员结账速度是结账人数增加速度的______倍.
【答案】
【分析】设收银员结账速度为每分钟人，结账人数增加速度为每分钟人，根据题中数量关系列出方程组求解即可．
【详解】设收银员结账速度为每分钟人，结账人数增加速度为每分钟人，由题意可得：
，
解得：，
∴，即收银员结账速度是结账人数增加速度的倍．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据数量关系正确列出方程组是解题的关键．
12．小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元．
（1）若，则___________；
（2）若同时购买两种奖品，则小明共有___________种不同的选购方案．
【答案】 8 5
【分析】（1）根据题意可得A奖品的总价格为，B奖品的总价格为，故可得，把代入方程，即可解答；
（2）将变形为，根据实际意义可得为正整数，即可解答．
【详解】解：（1）根据题意可列方程，
当时，可得方程，解得，
故答案为：8；
（2）将变形为，
为正整数，
观察式子，可得只能取偶数，且，
可解得，，，，，
故有5种不同的选购方案，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据为正整数来思考是解题的关键．
13．一个17人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只有双人标准间和三人间，其中双人标准间每间每晚100元，三人间每间每晚130元．住宿要求男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．
（1）若该旅游团一晚的住宿费用为750元，则他们租住了_______ 间三人间；
（2）若该旅游团中共有7名男士，则租住一晚的住宿费用最少为________元．
【答案】 5 790
【分析】（1）设该旅游团租住了间双人间，间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费租住双人间的间数租住三人间的间数，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数且，即可得出结论；
（2）由“男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元”，可得出“当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少”，结合男士、女士的人数及租住一人间的数量，可得出租住一晚的住宿房费最少的租住方案，再求出该方案租住一晚的住宿房费即可得出结论．
【详解】解：（1）设该旅游团租住了间双人间，间三人间，
根据题意得：，
，
又，均为自然数，
，
他们租住了5间三人间．
故答案为：5；
（2）当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少．
女士：（人)，男士7人，
租住一晚的住宿房费最少的租住方案为：租住的4间双人间里面2间住男士，2间住女士，另租住3间三人间，
此时租住一晚的住宿房费为（元，
租住一晚的住宿房费最少为790元．
故答案为：790．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
14．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则的值为______．

【答案】
【分析】分别推出其余方格中的数，结合每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等得到，求出x，y的值即可．
【详解】解：由题意可得，最右下角的数为：，
可依次推出其余方格中分别为：
x 2 1
4 0
y 3
则，
解得：，，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幻方，根据幻方的特点，灵活运用每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等推出空格内的数是解题的关键．
15．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.
（1）要想使花费最少，需要___________间两人间；
（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要___________间三人间.
【答案】 1 8
【分析】（1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间；
（2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满．
【详解】解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人元，
因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间，
花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间，
故答案为：1；
（2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元，
此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间，
设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间，
则，，
当，时，满足，
因此27个男生租12个两个间，1个三个间，
此时还剩两人间：（个），
因此m可以取3，2，1，0，
当时，女生需要租三人间个，不合题意；
当时，女生需要租三人间个，不合题意；
当时，女生需要租三人间个，符合题意；
因此需要租三人间：（个），
故答案为：8．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间必须住满”这一条件．
16．《孙子算经》第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？现设兽有x个，鸟有y只，则可列方程组为______．
【答案】
【分析】根据兽头+鸟头=76，兽脚+鸟脚=46，列出等式构造方程组即可．
【详解】设兽有x个，鸟有y只，根据兽头+鸟头=76，兽脚+鸟脚=46，
列方程组得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，确定两个等量关系是解题的关键．
17．已知是方程的解，则代数式的值为 __．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的解的定义，得出，整体代入代数式求值即可求解．
【详解】∵是方程的解，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．为了开展全民健身活动，某社区计划购买毽子和跳绳两种体育用品(两种都要买），共花费35元．若毽子单价3元，跳绳单价5元，则购买方案有 _________种．
【答案】2
【分析】设毽子能买x个、跳绳能买y根，根据题意列二元一次方程求解即可．
【详解】解：设毽子能买x个，跳绳能买y根，
根据题意可得：
∵x、y都是正整数，
∴时，；时，．
∴购买方案有2种．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，根据题意正确列出二元一次列方程是解答本题的关键．
19．为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，红枫购买数量与预算保持不变，结果所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_____________．
【答案】/
【分析】设预算购买香樟量为，单价为；红枫量为，单价为，根据题意列出等式得出，即可求解．
【详解】解：设预算购买香樟量为，单价为；红枫量为，单价为，
由题意得：，
整理得：，
，
实际购买香樟的总费用为，实际购买红枫的总费用为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．
20．小王带了1千元现金，去商场购买单价67元的A种商品a件和单价为59元的B种商品b件，找回了几张10元和几张1元的钞票（都不超过9张，超过就补大面额的了）.小王算了一下，发现找得钱数不对.销售员再仔细算了一遍，发现问题是把两种商品的单价弄反了，重新计算后，找回的10元和1元的钞票张数也恰好相反.问小王购买了______件B种商品.
【答案】12
【分析】设买A种商品a个，B种商品b个，找回10元的m张，1元的n张，根据已知条件列出方程组，再根据等式讨论它们的取值情况即可求解．
【详解】解：设第一次找回了10元的m张， 1元的n张，，且m、n为整数，
根据题意得
由得：，
，
，
，，
，
，
，
，，，
代入①得：
，
解得，
故小王购买了12件B种商品，
故答案为：12．
【点睛】此题考查了多元一次方程组的应用，解本题的关键是根据已知写出其中的等量关系，再根据取值范围求解．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a、b满足，现同时将线段分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．

(1)求点C，D的坐标；
(2)若点P由O点出发，沿着以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t，的面积为S，求S与t的关系式；
(3)若在y轴上是否存在点M，连接，，使，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)当时，，当时，
(3)或
【分析】（1）解二元一次方程组求得a、b的值，然后利用平移的性质求得点的坐标；
（2）分情况讨论，结合三角形面积公式列出函数关系式；
（3）列方程分析求解．
【详解】（1）解：，
，得，解得，
把代入①可得，解得，
∴点A，B的坐标分别为，，
∵同时将线段分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段，
∴，；
（2）解：∵点A，B的坐标分别为，，
∴，
当时，，
当时，，
（3）解：存在，理由如下：
设点M的坐标为，由题意可得，
解得，
∴点M的坐标为或．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，平移的性质，三角形及平行四边形面积公式及计算，灵活运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．
22．已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）将方程化为，再由x，y为正整数，即可得出结论；
（2）将与组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：中，可得m的值；
（3）根据方程总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解．
【详解】（1）解：，
，
又因为，为正整数，
，
即：只能取2或4；
方程的所有正整数解：，；
（2）由题意得：，
解得，
把代入，
解得；
（3）方程总有一个固定的解，
即方程总有一个固定的解，
，．
．
【点睛】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，理解题意，熟练掌握求方程组的解的方法是本题的关键．
23．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为．
(1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把看成了，乙把看成了6
(2)
【分析】（1）甲看错了方程组中的，把代入①，②，乙看错了方程组中的，把代入①，②，从而求出、正确的值和错误的值；
（2）把，代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解．
【详解】（1），
把代入①，②得，
，
，
．
；
把代入①、②得，
，
，
，
；
甲把看成了，乙把看成了6；
（2）把，代入原方程组，
原方程组为，
由②，得③，
，得，
把代入①，得，
原方程组的解：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
24．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．
(1)求m和n的值；
(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？
(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）
【答案】(1)m的值为80，n的值为60
(2)该商场可获利1100元
(3)该日商场销售14个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球
【分析】（1）由商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元，再建立方程组即可；
（2）由在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，可得，再列式计算利润即可；
（3）设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，可得，再利用方程的正整数解可得答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得： ，
∴m的值为80，n的值为60；
（2）根据题意得：，
∴，
∴．
答：该商场可获利1100元；
（3）设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，
根据题意得：，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或．
答：该日商场销售14个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的整数解的应用，二元一次方程组是应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
25．下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步：由①得， ③；
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将代入③，解得；
第五步：所以原方程组的解为
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．
【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析．
【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元；
但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号；
正确的解答过程：由①得 ③
将③代入②得
解得，代入③，解得
∴原方程组的解为：
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键．
26．我市为了打造湿地公园，今年计划改造一片绿化地种植两种景观树．种植棵种、棵种景观树需要元，种植棵种、棵种景观树需要元．
(1)种植每棵种景观树和每棵种景观树各需要多少元？
(2)今年计划种植两种景观树共棵，且种景观树的数量不超过种景观树数量的倍，那么种植这两种景观树的总费用最低为多少元？
【答案】(1)种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元
(2)这两种景观树的总费用最低为元
【分析】（1）设种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元根据题意列方程即可解答；
（2）设种植种景观树棵，则种植种景观树棵，根据题意得到关于的一次函数，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元，
根据题意得：，
解得： ，
答：种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元；
（2）解：设种植种景观树棵，则种植种景观树棵，购买两种树的总费用为元，
根据题意得，
∵种景观树的数量不超过种景观树数量的倍，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，（元），
∴这两种景观树的总费用最低为元；
【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题，一次函数与实际问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
27．一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案 请写出所有租车方案．
【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车
【分析】（1）设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资，根据题意列出方程组求解即可．
（2）设租用小货车辆，大货车辆，依题意得：，求方程的整数解即可．
【详解】（1）解：设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资
由题意可得：，
解得：，
答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．
（2）解：设租用小货车辆，大货车辆，
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或，
共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
【点睛】本题考查了二运一次方程组的应用，确定等量关系，列出正确的方程（组）是解题的关键．
28．小丽和小明同时解一道关于的方程组，其中为常数．在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得；小明看错常数“”，解得．
(1)求的值；
(2)求出原方程组正确的解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得，即是正确的，解得；小明看错常数“”，解得，即正确，解得；
（2）由（1）知关于的方程组可化为，根据二元一次方程组的解法求解即可得到答案．
【详解】（1）解：在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得，
，解得；
在解方程组的过程中，小明看错常数“”，解得，
，解得；
；；
（2）解：由（1）知，
由①②得，解得，
将代入①得，
原方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，读懂题意，准确得到相应方程是解决问题的关键．
29．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂招聘名新工人，设需熟练工名，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【答案】(1)每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；
(2)一共有四种方案：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人
【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，根据安装8辆电动汽车和安装14辆电动汽车两个等量关系列出方程组，然后求解即可；
（2）设调熟练工m人，根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m是整数讨论求解即可．
【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，
根据题意得，
解之得．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；
（2）解：设调熟练工m人，
由题意得，，
整理得，，
∵，
∴
∴一共有四种方案：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，（1）理清题目数量关系列出方程组是解题的关键，（2）用一个未知数表示出另一个未知数，是解题的关键，难点在于考虑人数是整数．
30．如图，已知数轴上的点A，B对应的数分别是和，点P是数轴上一动点．
(1)若点P到点A，B的距离相等，求点P对应的数；
(2)若点P从点A出发，以4个单位长度秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，请分别求出点P，点Q的运动速度．
【答案】(1)点P对应的数为；
(2)存在，当或时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍；
(3)P点的运动速度单位长度秒，Q点的运动速度单位长度秒．
【分析】（1）设点P对应的数为x，表示出与，根据求出x的值，即可确定出点P对应的数；
（2）表示出点P对应的数，进而表示出与，根据求出t的值即可；
（3）设P点的运动速度m单位长度秒，Q点的运动速度n单位长度秒，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】（1）点A、B对应的数分别是和，
设点P对应的数为x，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴点P对应的数为；
（2）存在，理由如下，
由题意可知，设运动时间为t秒，
P对应的数为，
则，
，
当时，解得，
当时，解得，
答：当或时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍；
（3）设P点的运动速度m单位长度秒，Q点的运动速度n单位长度秒，
根据题意得，
解得
答：P点的运动速度单位长度秒，Q点的运动速度单位长度秒．
【点睛】本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离、一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用等知识，根据题中描述找到等量关系式是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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作业07：二元一次方程组-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
2．若方程组的解也是方程的解，则的值是（　　）
A．6 B．10 C．9 D．
3．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
4．已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学，计划用60元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本5元，则刘老师购买笔记本的方案共有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
6．某同学打算花费27元钱购买2元和5元的两种学习用品，则他的购买方案有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为，若把甲钱数的三分之二给乙，则乙的钱数也为，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x，则下列说法错误的是（　　）
A．设乙持钱为y，依题意
B．依题意
C．乙的钱数为
D．甲、乙钱数的和为
8．为加快推动城市生态建设的步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，昆明市政府计划在某公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为，宽为，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少？设矩形地块四周道路的宽度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）

A． B．
C． D．
9．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：牛六头，羊五只，共价四十五银；牛两头，羊七只共价三十一根．问牛、羊各价几何？题目大意是：6头牛，5只羊，共需45两银子；2头牛，7只羊共需31两银子，请问每头牛、每只羊价格是多少？若设每头牛x银子，每只羊y两银子，根据题意，可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
10．中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．30种
二、填空题
11．某超市现有人在收银台排队等候结账，设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度固定，若同时开放2个收银台，则20分钟后可使排队人数为0；若同时开放3个收银台，则12分钟后可使排队人数为0，由此可知，收银员结账速度是结账人数增加速度的______倍.
12．小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元．
（1）若，则___________；
（2）若同时购买两种奖品，则小明共有___________种不同的选购方案．
13．一个17人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只有双人标准间和三人间，其中双人标准间每间每晚100元，三人间每间每晚130元．住宿要求男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．
（1）若该旅游团一晚的住宿费用为750元，则他们租住了_______ 间三人间；
（2）若该旅游团中共有7名男士，则租住一晚的住宿费用最少为________元．
14．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则的值为______．

15．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.
（1）要想使花费最少，需要___________间两人间；
（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要___________间三人间.
16．《孙子算经》第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？现设兽有x个，鸟有y只，则可列方程组为______．
17．已知是方程的解，则代数式的值为 __．
18．为了开展全民健身活动，某社区计划购买毽子和跳绳两种体育用品(两种都要买），共花费35元．若毽子单价3元，跳绳单价5元，则购买方案有 _________种．
19．为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，红枫购买数量与预算保持不变，结果所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_____________．
20．小王带了1千元现金，去商场购买单价67元的A种商品a件和单价为59元的B种商品b件，找回了几张10元和几张1元的钞票（都不超过9张，超过就补大面额的了）.小王算了一下，发现找得钱数不对.销售员再仔细算了一遍，发现问题是把两种商品的单价弄反了，重新计算后，找回的10元和1元的钞票张数也恰好相反.问小王购买了______件B种商品.
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a、b满足，现同时将线段分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．

(1)求点C，D的坐标；
(2)若点P由O点出发，沿着以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t，的面积为S，求S与t的关系式；
(3)若在y轴上是否存在点M，连接，，使，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
22．已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？
23．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为．
(1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
24．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．
(1)求m和n的值；
(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？
(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）
25．下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步：由①得， ③；
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将代入③，解得；
第五步：所以原方程组的解为
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．
26．我市为了打造湿地公园，今年计划改造一片绿化地种植两种景观树．种植棵种、棵种景观树需要元，种植棵种、棵种景观树需要元．
(1)种植每棵种景观树和每棵种景观树各需要多少元？
(2)今年计划种植两种景观树共棵，且种景观树的数量不超过种景观树数量的倍，那么种植这两种景观树的总费用最低为多少元？
27．一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案 请写出所有租车方案．
28．小丽和小明同时解一道关于的方程组，其中为常数．在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得；小明看错常数“”，解得．
(1)求的值；
(2)求出原方程组正确的解．
29．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂招聘名新工人，设需熟练工名，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
30．如图，已知数轴上的点A，B对应的数分别是和，点P是数轴上一动点．
(1)若点P到点A，B的距离相等，求点P对应的数；
(2)若点P从点A出发，以4个单位长度秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，请分别求出点P，点Q的运动速度．
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