第三章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共36分)
1．下列各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是(　　)
A．6，8，10 B．5，12，13
C．9，40，41 D．7，9，12
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是(　　)
A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2 D．2c2－a2＝b2
3．【2023·济宁滕州市月考】满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(　　)
A．三内角的度数之比为1∶2∶3
B．三边长之比为3∶4∶5
C．三边长的平方之比为1∶2∶3
D．三内角的度数之比为3∶4∶5
4．海面上一艘快艇欲驶向正东方向24 km远的A处，速度为50 km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，则此时快艇距离A处(　　)
A．25 km B．24 km
C．7 km D．1 km
5．已知在△ABC中，∠B＝38°，BC2－AC2＝AB2，则∠C的度数为(　　)
A．38° B．52° C．62° D．90°
6．已知直角三角形的两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高是(　　)
A．6 cm B．8 cm C． cm D． cm
7．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，D的面积依次为6，10，24，则正方形C的面积为(　　)
A．4
B．6
C．8
D．12
8．【2022·临沂郯城期末】如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠ABC＝(　　)
A．30° B．40° C．45° D．60°
9．【2023·烟台海阳市期中】如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为(　　)
A．12 B．15 C．18 D．21
10．如图，直线l上有三个正方形甲、乙、丙，若正方形甲、丙的边长分别为5和7，则正方形乙的面积为(　　)
A．36 B．49 C．74 D．81
11．如图是一个圆柱形的饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底面的直吸管在罐内部分的长度a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是(　　)
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
12．【2022·济宁】如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分，共18分)
13．勾股数为一组连续自然数的是____________．
14．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000 m处，过了10 s，飞机距离这个男孩头顶5 000 m，则飞机平均每小时飞行__________km.
15．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.如果S2＋S1－S3＝18，则阴影部分的面积为________．
16．【2023·青岛莱西市期中】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一根竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为15 m，顶端距离地面20 m；如果保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在左墙时，其顶端距离地面为24 m，则小巷的宽度为________m.
17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，则EC的长为______ cm.
18．【2023·济南市中区月考】在北京召开的国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，边长为c；小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a＋b)2的值为________．
三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)
19．如图，在△ABC中，已知BC＝10，AB＝AC＝13，求△ABC的面积．
20．如图，在△ABC中，AB＝100，BC＝125，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝60，点A在直线MN上．
(1)求AC的长；
(2)若∠MAC＝48°，求∠NAB的度数．
21．【2023·枣庄薛城区月考】如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上面是以AB为直径的半圆，下面是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米．现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
22．【2023·青岛莱西市期中】如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100 m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝1.8，BD＝3.
(1)若∠2＝∠B，求AC的长；
(2)若∠1＝∠2，求AC的长．
24．【2023·淄博高青期中】如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE.
(1)若CD＝8，CE＝6，AB＝20，试说明：∠C＝90°；
(2)若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
25．【2023·济宁滕州市月考】问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
(1)如图①，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式．
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论．
(3)如图③，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第(2)问的结论是否成立？请说明理由．
(4)如图④，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图④中阴影部分的面积．
INCLUDEPICTURE "../测试卷.EPS" * MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../测试卷.EPS" * MERGEFORMAT d
答案
一、1．D　2．C　3．D
4．C　【点拨】如图，由题知CA＝24 km，CB＝50×＝25(km)．
因为∠A＝90°，
所以AB2＝CB2－CA2＝252－242＝49，
所以AB＝7 km，即此时快艇距离A处7 km.
5．B　【点拨】因为BC2－AC2＝AB2，
所以BC2＝AC2＋AB2，所以∠A＝90°.
因为∠B＝38°，所以∠C＝90°－∠B＝52°.
6．D　【点拨】由勾股定理得斜边长为13 cm，
设斜边上的高为h cm，则×5×12＝×13·h，解得h＝，即斜边上的高为 cm.
7．C　【点拨】由题意得S正方形A＋S正方形B＝S正方形E，S正方形D－S正方形C＝S正方形E，
所以S正方形A＋S正方形B＝S正方形D－S正方形C，
所以6＋10＝24－S正方形C，
所以S正方形C＝8.
8．C　【点拨】连接AC，
根据勾股定理得AC2＝BC2＝32＋12＝10，
AB2＝42＋22＝20，所以AC＝BC，AC2＋BC2＝AB2，
所以△ABC是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°.
9．B　【点拨】如图，连接AB′，则AB′即为所用的最短细线长，AA′＝4＋2＋4＋2＝12，A′B′＝AB＝9，由勾股定理得AB′2＝AA′2＋A′B′2＝122＋92＝225，则AB′＝15，即细线的最短长度为15.
10．C　【点拨】如图，
因为四边形甲、乙、丙为正方形，
所以∠EFG＝∠EGH＝∠GMH＝90°，EG＝GH.
所以∠FEG＋∠EGF＝90°，∠EGF＋∠MGH＝90°，所以∠FEG＝∠MGH.
在△EFG和△GMH中，
所以△EFG≌△GMH(AAS)，所以FG＝MH.
因为正方形甲、丙的边长分别为5和7，
所以EF2＝52＝25，MH2＝72＝49，
所以正方形乙的面积为EG2＝EF2＋FG2＝EF2＋MH2＝25＋49＝74.
11．A　【点拨】如图所示，AB为罐内长度最长、OA为罐内长度最短时的示意图，∠AOB＝90°，OA＝12，OB＝5，由勾股定理得AB2＝OA2＋OB2＝122＋52＝169，所以AB＝13，所以12≤a≤13.
12．A　【点拨】因为沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
所以AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB.
因为折叠纸片，使点C与点D重合，
所以CE＝DE，∠C＝∠CDE.
因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，
所以∠ADB＋∠CDE＝90°，所以∠ADE＝90°，
所以AD2＋DE2＝AE2，
设AE＝x，则CE＝DE＝3－x，
所以22＋(3－x)2＝x2，解得x＝，即AE＝.
二、13．3，4，5
14．1 080　【点拨】如图，AB＝4 000 m，AC＝5 000 m，在Rt△ABC中，BC2＝AC2－AB2＝5 0002－4 0002＝9 000 000，所以BC＝3 000 m所以飞机平均每小时飞行＝1 080(km)．
15．　【点拨】由勾股定理得 BC2－AC2＝AB2，即S2－S3＝S1，因为S2＋S1－ S3＝18，所以S1＝9.由图形可知，阴影部分的面积＝S1，
所以阴影部分的面积＝.
16．22　【点拨】如图，∠ACB＝∠BDE＝90°，BD＝15 m，DE＝20 m，AC＝24 m.
在Rt△BDE中，BE2＝BD2＋DE2＝152＋202＝625，所以BE＝25 m.
因为AB＝BE，所以AB＝25 m，
所以BC2＝AB2－AC2＝252－242＝49，
所以BC＝7 m，所以CD＝CB＋BD＝7＋15＝22(m)，即小巷的宽度为22 m.
17．3　【点拨】由折叠可知，AF＝AD＝BC＝10 cm，DE＝EF，
设EC＝x cm，则DE＝(8－x)cm.
所以EF＝(8－x)cm，
在Rt△ABF中，BF2＝AF2－AB2＝36，
所以BF＝6 cm，所以FC＝BC－BF＝4 cm.
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋FC2＝EF2，
即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，
即EC的长为3 cm.
18．25　【点拨】因为大正方形的面积是13，
所以c2＝13，所以a2＋b2＝c2＝13.
由题可得直角三角形的面积是＝3，
所以ab＝3，所以ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab＝13＋2×6＝ 13＋12＝25.
三、19．【解】作AD⊥BC于D.
因为AB＝AC，所以BD＝CD＝BC＝5，
所以AD2＝AB2－BD2＝132－52＝144，
所以AD＝12，
所以△ABC的面积＝BC·AD＝×10×12＝60.
20．【解】(1)因为AD⊥BC，
所以∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝1002－602＝6 400，所以BD＝80.
因为BC＝125，所以DC＝BC－BD＝125－80＝45.
在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋DC2＝602＋452＝5 625，所以AC＝75.
(2)因为AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625，BC2＝1252＝15 625，所以AB2＋ AC2＝BC2，
所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.
因为∠MAC＝48°，点A在直线MN上，
所以∠NAB ＝180°－∠BAC－ ∠MAC ＝180°－90°－48°＝42°.
21．【解】卡车能通过这个通道．
理由：因为车宽1.6米，
所以卡车能否通过，只要比较距通道中线0.8米处的高度与车高．
如图，在Rt△OEF中，由勾股定理得EF2＝OE2－OF2＝12－0.82＝0.36，所以EF＝0.6米．
所以EH＝EF＋FH＝0.6＋2.3＝2.9(米)．
因为2.9＞2.5，所以卡车能通过这个通道．
22．【解】因为AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，
所以AB2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°，
由题易知∠NBA＝30°，
所以∠MBC＝180°－90°－30°＝60°，
所以小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
23．【解】(1)因为∠2＝∠B，所以AD＝BD＝3.
因为∠C＝90°，CD＝1.8，
所以AC2＝AD2－CD2＝32－1.82＝5.76，
所以AC＝2.4.
(2)过点D作DE⊥AB于点E，
因为∠1＝∠2，∠C＝90°，所以DE＝CD＝1.8.
因为AC2＝AD2－CD2，AE2＝AD2－DE2，所以AC＝AE.
在Rt△DEB中，BE2＝BD2－DE2＝32－1.82＝5.76，所以BE＝2.4.
在Rt△ACB中，AC2＝AB2－BC2＝(AE＋BE)2－(CD＋BD)2＝(AC＋2.4)2－ (1.8＋3)2，
解得AC＝3.6.
24．【解】(1)因为D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，
所以AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16.
所以AC2＋BC2＝400.
因为AB＝20，所以AB2＝400，
所以AB2＝AC2＋BC2.所以∠C＝90°.
(2)因为E是边AC的中点，AE＝6，
所以AC＝2AE＝12.
在Rt△ACD中，因为∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，
所以CD2＝AD2－AC2＝132－122＝25.
所以CD＝5.因为D是边BC的中点，所以BC＝2CD＝10.所以△ABC的面积＝AC·BC＝×12×10＝60.
25．【解】(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
(2)S1＋S2＝S3.
(3)成立．
由题图可得S2＝π＝，S3＝π＝，S1＝π＝，
所以S1＋S2＝.
因为在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2，
所以S1＋S2＝＝S3.
(4)根据(3)的结论，两个以直角边为直径的半圆形面积的和等于以斜边为直径的半圆形面积．
所以阴影部分的面积＝直角三角形的面积，
所以阴影部分的面积＝5×12÷2＝30.