高二数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
全卷共150分，考试时间120分钟．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．作图可先使用2B铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知（i是虚数单位），z共轭复数为，则的虚部为（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
4．某中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人的比赛成绩依次为：83，85，87，8788，88，91，93，97（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是（ ）
A．87 B．91 C．93 D．95
5．已知等比数列的公比为q，则“是“，，成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线C：的一条渐近线的方向微量为，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7)的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．
已知，，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前n项和，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．
9．一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字．甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是（ ）
A．甲发生的概率为 B．乙发生的概率为
C．甲与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
10．已知直线是函数图像的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．在上的两个零点
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．将的图象向右平移个单位长度，可得的图象
11．已知，直线：，直线：，则下列说法正确的是（ ）
A．必过定点
B．，
C．，
D．与相交，且它们的交点在圆外
12．如图，已知直线与抛物线交于A，B两点，且，于点D，点M为弦AB的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．A，B两点的横坐标之积为 B．当点D的坐标为时，
C．直线AB过定点 D．点M的轨迹方程为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案写在答题卡相应题的横线上．
13．已知直线l过抛物线C：的的焦点且与C交于A，B两点，线段AB中点的横坐标3，则______．
14．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______．
15．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，在阳马中，平面ABCD，点E在棱PC上，平面BDE，且，则三棱锥外接球的表面积为______．
16．已知点P为圆：上一动点，直线PA，PB分别与圆：相切于A，B两点，且直线PA，PB分别与y轴交于C，D两点，则的周长能取得的整数值为______．（写出1个即可）
四、解答题，共70分，解答题写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，请从①；②；③中选择两个作为条件，解决以下问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
如图所示，平行六面体中，，．
（1）求直线与夹角的余弦值；
（2）若空间一点P满足，求点P到直线AB的距离．
19．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）斜率为且不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．
20．（本小题满分12分）
已知数列的前n项之积为，且满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若数列的前n项和为，求证．
21．（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD中，，点M在边AD上，，，以CM为折痕将翻折到的位置，使得点S在平面ABCD内的身影恰为线段CD的中点．
（1）求四棱锥体积：
（2）若点P为线段SB上的动点，求直线CP与平面MBS所成角的正弦值的最大值．
22．（本小题满分12分）
已知点P为圆C：上任意一点，点E的坐标为，线段PE的垂直平分线l与直线PC交于点A，当点P在圆C上运动时：
（1）求点A的轨迹W的方程：
（2）若直线PC不与x轴垂直，且与曲线W交于A，B两点（点A，B均在y轴右侧），则在x轴上是否存在点D，使得点C到直线DA，DB的距离相等？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
高二数学试卷参考答案及评分标准
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A B C A
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合置目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．
题号 9 10 11 12
答案 AC BD ACD BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．
13．8 14．
15．12π 16．7、8、9、10、11任意一个数均可
四．解答题，共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．（10分）
解：选择条件①和条件②
（1）设等差数列的公差为d，∴
解得：，．∴；
（2）设等比数列的公比为q，，
∴解得，．
设数列的前n项和为，∴．
选择条件①和条件③：
（1）设等于差数列的公差为d，∴
解得：，．∴；
（2），设等比数列的公比为q，．
∴，解得，．
设数列的前n项和为，∴
选择条件②和条件③：
（1）设等比数列的公比为q，，
∴，解得，，
设等差数列的公差为d，∴，又，故
∴；
（2）设数列的前n项和为，
由（1）可知．
18．（12分）
解：（1）以为基底，因为，
所以，
同理可得，，
则，，
，
所以．
∴直线与夹角的余弦值是；
（2）因为，
所以，
所以，
则点P到直线BD的距离．
19．（12分）
解：（1）由题意得，解得，，
所以椭圆C的标准方程为：；
（2）设直线l的方程为，，
联立方程得：
由，得且，
且，所以，
弦长
又P到直线AB的距离为，
所以
当且仅当时取等号，所以面积的最大值为2．
20．（12分）
解：（1）由题意知：，
∴，∴，
∴数列是公差为3的等差数列；
（2）∵，，∴，解得．
∴，∴，
∴
∴
又∵，∴单调递增，∴的最小值为，
∴．
21．（12分）
解：（1）取CD的中点O，连接SD、SO，取MD的中点F，连接CF．
∵，∴，
∵，∴
∴，，．
由题意知平面ABCD，∴
∵O为CD中点，且，∴，
∴
∴；
（2）延长DC到点E，以C为原点，、的方程分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，
∵，且，
∴四边形BCDM为平行四边形，
∴，
∴，
∴，．
设，
则
．
设平面MBS的一个法向量，直线CP与平面MBS所成的解得为．
由得，故可取．
∴
∴当时，取得最大值．
所以直线CP与平面MBS所成角的正弦值的最大值．
22．（12分）
解：（1）连结AE，
线段PE的垂直平分线l与直线PC交于点A，所以，
因为或者，即，
所以，，即，而，
由双曲线的定义知，点A的轨迹W是以C，E为焦点的双曲线，
且，，即，，所以，
所以W的标准方程为；
（2）假设存在点，设，，设直线PC的方程为，
联立，得，
则
所以
且，，
因为点C到直线DA，DB的距离相等，所以DC是的平分线，
所以直线DA与直线DB的斜率互为相反数，即，
则，
因为，，所以，
即，所以，
即．因为，所以，
故x轴上存在点可使点C到直线DA、DB的距离相等．