天星学校2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2
3．（3分）下列运算，结果正确的是（　　）
A．﹣＝ B．3+＝3 C．÷＝3 D．×＝2
4．（3分）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　）
A．4，5，3 B．，2， C．2，2，2 D．1，2，2
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝5，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
6．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
7．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF的长度是（　　）
A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm
8．（3分）如图，已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A．a﹣2 B．﹣a﹣2 C．1 D．2﹣a
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段BN的长为（　　）
A． B． C．4 D．
10．（3分）已知，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上
任意一点，DF⊥DE，交直线BC于E点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB
于点H．若AE＝6，CH＝10，则CE的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）比较大小：2　 　5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
12．（3分）利用平方差公式在实数范围内分解因式：a2﹣6＝　 　．
13．（3分）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，且DC＝5cm，则AB＝　 　．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①AH＝DF；②∠AEF＝45°；③S四边形EFGH＝S△DEF+S△AGH；④△AED≌△CDE．其中正确的结论有 　 　（填正确的序号）．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）．
18．（6分）已知y+1与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝﹣3．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）判断点（﹣1，﹣5）是否在该函数的图象上．
19．（7分）在平面直角坐标系中画出函数y＝﹣x+3的图象．在图象上标出横坐标为﹣4的点A，并写出它的坐标．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … …
20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
21．（8分）已知m＞0＞n，．
（1）化简P；
（2）若点（m，n）在一次函数的图象上，求P的值．
22．（8分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，BC＝12m，CD＝13m．
（1）求出空地ABCD的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
23．（9分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，则当P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形PDCQ为平行四边形？
24．（10分）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
25．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是 　 　（填序号）；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝，AB＝3．
①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由；
②求GE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、＝＝2，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：B．
2． 解：由题意可知：x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：C．
3． 解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．÷＝＝，此选项错误；
D．×＝××＝2，此选项计算正确；
故选：D．
4． 解：A．∵32+42＝52，
∴以4，5，3为边能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵（）2+22≠（）2，
∴以，2，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵22+22≠22，
∴以2，2，2为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵12+22≠22，
∴以1，2，2为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
5． 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20，
故选：C．
6． 解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，说法正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法错误，符合题意；
D、四条边相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意．
故选：C．
7． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵AC+BD＝24厘米，
∴厘米，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB＝6厘米，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴，
故选：A．
8． 解：从数轴可知：a＜2，
所以＝|a﹣2|＝2﹣a，
故选：D．
9． 解：∵D是AB中点，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，
∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，
∴DN＝CN，
∴BN＝BC﹣CN＝8﹣DN，
在Rt△DBN中，DN2＝BN2+DB2，
∴DN2＝（8﹣DN）2+4，
∴DN＝，
∴BN＝BC﹣CN＝8﹣＝，
故选：B．
10． 解：连接DG，如图所示：
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∵∠ACB＝90°，G是EF的中点，
∴CG＝DG，
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，且CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，CD＝AD，
∴∠CDG+∠HDG＝90°，∠DCH+∠DHC＝90°，
∵CG＝DG，
∴∠HCD＝∠CDG，
∴∠CHD＝∠HDG，
∴GH＝GD，
∴H是CH的中点，
∵CH＝10，
∴CG＝5，
∴EF＝10，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，∠ACD＝45°，∠DCF＝45°，
∴∠A＝∠DCF，
∵∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴CF＝AE＝6，
在△ECF中，根据勾股定理得CE＝8，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：∵2＝，5＝，
而24＜25，
∴2＜5．
故填空答案：＜．
12． 解：a2﹣6＝．
故答案为：．
13． 解：∵＝＝2，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案是：5．
14． 解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴AB＝2CD＝10cm，
故答案为：10cm．
15． 解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴DO＝4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
16． 解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠ADB＝∠CDB＝45°，AB＝BC＝CD＝AD，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△AED≌CDE（SAS），
故④正确；
∴∠DCE＝∠DAE，
∵BG⊥AE，
∴∠DAE+∠AHB＝90°，
∵∠ABH+∠AHB＝90°，
∴∠ABH＝∠DAE＝∠DCE，
在△ABH和△DCF中，
，
∴△ABH≌△CDF（ASA），
∴AH＝DF，
故①正确；
∵BE＝BC，AB＝BC，
∴AB＝BC＝BE，
∵∠ABE＝∠CDB＝45°，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEB﹣∠BEC＝45°，
故②正确；
连接FH，
∵AB＝BE，BG⊥AE，
∴AG＝GE，BH是线段AE的垂直平分线，
∴AH＝HE，S△AGH＝S△EGH，
∵AH＝DF，
∴HE＝DF，
∵AD∥BC，
∴∠DFE＝∠BCE，
∵∠BCE＝∠BEC＝∠DEF，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴DF＝DE，
∴HE＝DE，
∴△HED是等腰三角形，
∵EF不垂直DH，
∴HF≠DF，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFGH＝S△HEF+S△EGH，
故③不正确；
故答案是：①②④．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：原式＝2+2﹣（3﹣）
＝2+2﹣3+
＝3﹣．
18． 解：（1）设y+1＝k（x﹣2），
把x＝1，y＝﹣3代入得﹣3+1＝k（1﹣2），
解得k＝2，
∴y＝2（x﹣2）﹣1＝2x﹣5，
即y与x之间的函数关系式为y＝2x﹣5；
（2）当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣5＝﹣7，
∴点（﹣1，﹣5）不在该函数的图象上．
19． 解：列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 6 5 4 3 2 1 0 …
描点，连线，画出函数y＝﹣x+3的图象如图：
由图象可知，点A坐标（﹣4，7）．
20． 证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形．
21． 解：（1）∵m＞0＞n，
∴
＝2m+n+m﹣n+n
＝3m+n；
（2）∵点（m，n）在一次函数的图象上，
∴n＝﹣m，
∴P＝3m+n＝3m+×（﹣m）＝3m﹣3m＝0．
22． 解：（1）连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，
所以∠DBC＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABD+S△DBC＝3×4÷2+5×12÷2＝36（m2）．
（2）所需费用为36×200＝7200（元）．
23． 解：（1）根据题意有，AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t，
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴t＝15﹣2t，
解得：t＝5，
∴运动5s时，四边形APQB是平行四边形；
（2）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t（cm），
当PQ∥CD，且PQ＝CD时，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ＝CD，PD＝CQ，
∴12﹣t＝2t，
解得：t＝4，
即当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
24． 解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；
（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，
∴△ADG是等腰三角形，
∵AC⊥BF，
∴AC是DG的垂直平分线，
∴CD＝GC，
在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，
由勾股定理得，CD＝＝＝120（千米），
则DG＝2DC＝240千米，
遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．
25． 解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：③④．
（2）证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）①连接CG、BE，AB与CE交于点O，BG与CE交于点N，如图2，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AOE＝90°，
∴∠ABG+∠AOE＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形；
②由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝，AB＝3，
∴BC＝＝＝2，CG＝AC＝，BE＝AB＝3，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝＝24，
∴GE＝2．
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